Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18550 / 13345
↖ ↑ ↗
← N 31.644029°
E 23.796387°		 ← 1 040.01 m → N 31.644029°
E 23.807373°		 →
↑
1 040 m
↓
↑
1 040 m
↓
N 31.634676°
E 23.796387°		 ← 1 040.12 m →
1 081 668 m²		 N 31.634676°
E 23.807373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566116333007812 y=0.407272338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566116333007812 × 215)
    floor (0.566116333007812 × 32768)
    floor (18550.5)     		tx = 18550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407272338867188 × 215)
    floor (0.407272338867188 × 32768)
    floor (13345.5)     		ty = 13345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18550 / 13345 ti = "15/18550/13345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18550/13345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18550 ÷ 215
    18550 ÷ 32768     		x = 0.56610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13345 ÷ 215
    13345 ÷ 32768     		y = 0.407257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56610107421875 × 2 - 1) × π
    0.1322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41532530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407257080078125 × 2 - 1) × π
    0.18548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.582720951781403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41532530} λ = 0.41532530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582720951781403))-π/2
    2×atan(1.79090477273847)-π/2
    2×1.06154441023409-π/2
    2.12308882046819-1.57079632675     		φ = 0.55229249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41532530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55229249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.644029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18550 KachelY 13345 0.41532530 0.55229249 23.796387 31.644029
    Oben rechts KachelX + 1 18551 KachelY 13345 0.41551705 0.55229249 23.807373 31.644029
    Unten links KachelX 18550 KachelY + 1 13346 0.41532530 0.55212925 23.796387 31.634676
    Unten rechts KachelX + 1 18551 KachelY + 1 13346 0.41551705 0.55212925 23.807373 31.634676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55229249-0.55212925) × R
    0.000163240000000009 × 6371000     		dl = 1040.00204000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55229249-0.55212925) × R
    0.000163240000000009 × 6371000     		dr = 1040.00204000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41532530-0.41551705) × cos(0.55229249) × R
    0.000191749999999991 × 0.851324027638863 × 6371000     		do = 1040.01084663167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41532530-0.41551705) × cos(0.55212925) × R
    0.000191749999999991 × 0.851409658571402 × 6371000     		du = 1040.11545673987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55229249)-sin(0.55212925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851324027638863-0.851409658571402)×R²
    abs(0.41551705-0.41532530)×8.56309325387716e-05×R²
    0.000191749999999991×8.56309325387716e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.56309325387716e-05×40589641000000     		ar = 1081667.8018839m²