Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1855 / 1853
↖ ↑ ↗
← S 81.011194°
E146.074219°		 ← 3 053.89 m → S 81.011194°
E146.250000°		 →
↑
3 049.29 m
↓
↑
3 049.29 m
↓
S 81.038617°
E146.074219°		 ← 3 044.65 m →
9 298 108 m²		 S 81.038617°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906005859375 y=0.905029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906005859375 × 211)
    floor (0.906005859375 × 2048)
    floor (1855.5)     		tx = 1855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905029296875 × 211)
    floor (0.905029296875 × 2048)
    floor (1853.5)     		ty = 1853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1855 / 1853 ti = "11/1855/1853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1855/1853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1855 ÷ 211
    1855 ÷ 2048     		x = 0.90576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1853 ÷ 211
    1853 ÷ 2048     		y = 0.90478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90576171875 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54947607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90478515625 × 2 - 1) × π
    -0.8095703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5433401462417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54947607} λ = 2.54947607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5433401462417))-π/2
    2×atan(0.0786034139319334)-π/2
    2×0.0784421277706298-π/2
    0.15688425554126-1.57079632675     		φ = -1.41391207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54947607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41391207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.011194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1855 KachelY 1853 2.54947607 -1.41391207 146.074219 -81.011194
    Oben rechts KachelX + 1 1856 KachelY 1853 2.55254403 -1.41391207 146.250000 -81.011194
    Unten links KachelX 1855 KachelY + 1 1854 2.54947607 -1.41439069 146.074219 -81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 1856 KachelY + 1 1854 2.55254403 -1.41439069 146.250000 -81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41391207--1.41439069) × R
    0.000478619999999985 × 6371000     		dl = 3049.28801999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41391207--1.41439069) × R
    0.000478619999999985 × 6371000     		dr = 3049.28801999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54947607-2.55254403) × cos(-1.41391207) × R
    0.00306796000000009 × 0.156241491572525 × 6371000     		do = 3053.89200075503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54947607-2.55254403) × cos(-1.41439069) × R
    0.00306796000000009 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 3044.65144862437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41391207)-sin(-1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156241491572525-0.155768731682034)×R²
    abs(2.55254403-2.54947607)×0.000472759890490865×R²
    0.00306796000000009×0.000472759890490865×6371000²
    0.00306796000000009×0.000472759890490865×40589641000000     		ar = 9298107.91732357m²