Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1855 / 1474
↖ ↑ ↗
← N 74.752746°
W 98.481445°		 ← 1 285.07 m → N 74.752746°
W 98.437500°		 →
↑
1 285.60 m
↓
↑
1 285.60 m
↓
N 74.741185°
W 98.481445°		 ← 1 286.03 m →
1 652 708 m²		 N 74.741185°
W 98.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22650146484375 y=0.17999267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22650146484375 × 213)
    floor (0.22650146484375 × 8192)
    floor (1855.5)     		tx = 1855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17999267578125 × 213)
    floor (0.17999267578125 × 8192)
    floor (1474.5)     		ty = 1474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1855 / 1474 ti = "13/1855/1474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1855/1474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1855 ÷ 213
    1855 ÷ 8192     		x = 0.2264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1474 ÷ 213
    1474 ÷ 8192     		y = 0.179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71882547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179931640625 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0110488128606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71882547} λ = -1.71882547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0110488128606))-π/2
    2×atan(7.47114907682717)-π/2
    2×1.437738936345-π/2
    2.87547787268999-1.57079632675     		φ = 1.30468155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71882547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.481445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30468155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.752746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1855 KachelY 1474 -1.71882547 1.30468155 -98.481445 74.752746
    Oben rechts KachelX + 1 1856 KachelY 1474 -1.71805848 1.30468155 -98.437500 74.752746
    Unten links KachelX 1855 KachelY + 1 1475 -1.71882547 1.30447976 -98.481445 74.741185
    Unten rechts KachelX + 1 1856 KachelY + 1 1475 -1.71805848 1.30447976 -98.437500 74.741185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30468155-1.30447976) × R
    0.000201789999999979 × 6371000     		dl = 1285.60408999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30468155-1.30447976) × R
    0.000201789999999979 × 6371000     		dr = 1285.60408999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71882547--1.71805848) × cos(1.30468155) × R
    0.000766990000000023 × 0.262984967910719 × 6371000     		do = 1285.07428106663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71882547--1.71805848) × cos(1.30447976) × R
    0.000766990000000023 × 0.263179649533184 × 6371000     		du = 1286.02559150849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30468155)-sin(1.30447976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262984967910719-0.263179649533184)×R²
    abs(-1.71805848--1.71882547)×0.000194681622464554×R²
    0.000766990000000023×0.000194681622464554×6371000²
    0.000766990000000023×0.000194681622464554×40589641000000     		ar = 1652708.26159832m²