Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18548 / 15294
↖ ↑ ↗
← N 11.888853°
E 23.774414°		 ← 1 195.43 m → N 11.888853°
E 23.785400°		 →
↑
1 195.45 m
↓
↑
1 195.45 m
↓
N 11.878102°
E 23.774414°		 ← 1 195.48 m →
1 429 115 m²		 N 11.878102°
E 23.785400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566055297851562 y=0.466751098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566055297851562 × 215)
    floor (0.566055297851562 × 32768)
    floor (18548.5)     		tx = 18548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466751098632812 × 215)
    floor (0.466751098632812 × 32768)
    floor (15294.5)     		ty = 15294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18548 / 15294 ti = "15/18548/15294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18548/15294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18548 ÷ 215
    18548 ÷ 32768     		x = 0.5660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15294 ÷ 215
    15294 ÷ 32768     		y = 0.46673583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5660400390625 × 2 - 1) × π
    0.132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41494180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46673583984375 × 2 - 1) × π
    0.0665283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.209004882343445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41494180} λ = 0.41494180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209004882343445))-π/2
    2×atan(1.2324510157647)-π/2
    2×0.88914797868643-π/2
    1.77829595737286-1.57079632675     		φ = 0.20749963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41494180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20749963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.888853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18548 KachelY 15294 0.41494180 0.20749963 23.774414 11.888853
    Oben rechts KachelX + 1 18549 KachelY 15294 0.41513355 0.20749963 23.785400 11.888853
    Unten links KachelX 18548 KachelY + 1 15295 0.41494180 0.20731199 23.774414 11.878102
    Unten rechts KachelX + 1 18549 KachelY + 1 15295 0.41513355 0.20731199 23.785400 11.878102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20749963-0.20731199) × R
    0.000187639999999989 × 6371000     		dl = 1195.45443999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20749963-0.20731199) × R
    0.000187639999999989 × 6371000     		dr = 1195.45443999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41494180-0.41513355) × cos(0.20749963) × R
    0.000191749999999991 × 0.97854908381106 × 6371000     		do = 1195.43396883507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41494180-0.41513355) × cos(0.20731199) × R
    0.000191749999999991 × 0.978587723015688 × 6371000     		du = 1195.48117200403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20749963)-sin(0.20731199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97854908381106-0.978587723015688)×R²
    abs(0.41513355-0.41494180)×3.86392046283213e-05×R²
    0.000191749999999991×3.86392046283213e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.86392046283213e-05×40589641000000     		ar = 1429115.06458265m²