Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18548 / 15130
↖ ↑ ↗
← N 13.645987°
E 23.774414°		 ← 1 187.15 m → N 13.645987°
E 23.785400°		 →
↑
1 187.17 m
↓
↑
1 187.17 m
↓
N 13.635310°
E 23.774414°		 ← 1 187.21 m →
1 409 389 m²		 N 13.635310°
E 23.785400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566055297851562 y=0.461746215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566055297851562 × 215)
    floor (0.566055297851562 × 32768)
    floor (18548.5)     		tx = 18548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461746215820312 × 215)
    floor (0.461746215820312 × 32768)
    floor (15130.5)     		ty = 15130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18548 / 15130 ti = "15/18548/15130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18548/15130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18548 ÷ 215
    18548 ÷ 32768     		x = 0.5660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15130 ÷ 215
    15130 ÷ 32768     		y = 0.46173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5660400390625 × 2 - 1) × π
    0.132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41494180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    0.0765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.240451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41494180} λ = 0.41494180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240451488494202))-π/2
    2×atan(1.27182323427244)-π/2
    2×0.904481863195763-π/2
    1.80896372639153-1.57079632675     		φ = 0.23816740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41494180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23816740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.645987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18548 KachelY 15130 0.41494180 0.23816740 23.774414 13.645987
    Oben rechts KachelX + 1 18549 KachelY 15130 0.41513355 0.23816740 23.785400 13.645987
    Unten links KachelX 18548 KachelY + 1 15131 0.41494180 0.23798106 23.774414 13.635310
    Unten rechts KachelX + 1 18549 KachelY + 1 15131 0.41513355 0.23798106 23.785400 13.635310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23816740-0.23798106) × R
    0.000186340000000007 × 6371000     		dl = 1187.17214000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23816740-0.23798106) × R
    0.000186340000000007 × 6371000     		dr = 1187.17214000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41494180-0.41513355) × cos(0.23816740) × R
    0.000191749999999991 × 0.971771957360066 × 6371000     		do = 1187.15476516032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41494180-0.41513355) × cos(0.23798106) × R
    0.000191749999999991 × 0.971815902222821 × 6371000     		du = 1187.2084499295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23816740)-sin(0.23798106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971771957360066-0.971815902222821)×R²
    abs(0.41513355-0.41494180)×4.39448627551631e-05×R²
    0.000191749999999991×4.39448627551631e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.39448627551631e-05×40589641000000     		ar = 1409388.93367599m²