Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18547 / 13722
↖ ↑ ↗
← N 28.052591°
E 23.763428°		 ← 1 078.06 m → N 28.052591°
E 23.774414°		 →
↑
1 078.10 m
↓
↑
1 078.10 m
↓
N 28.042895°
E 23.763428°		 ← 1 078.16 m →
1 162 310 m²		 N 28.042895°
E 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566024780273438 y=0.418777465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566024780273438 × 215)
    floor (0.566024780273438 × 32768)
    floor (18547.5)     		tx = 18547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418777465820312 × 215)
    floor (0.418777465820312 × 32768)
    floor (13722.5)     		ty = 13722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18547 / 13722 ti = "15/18547/13722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18547/13722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18547 ÷ 215
    18547 ÷ 32768     		x = 0.566009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13722 ÷ 215
    13722 ÷ 32768     		y = 0.41876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566009521484375 × 2 - 1) × π
    0.13201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41475006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    0.1624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.510432107154358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41475006} λ = 0.41475006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510432107154358))-π/2
    2×atan(1.66601093467646)-π/2
    2×1.03020320018202-π/2
    2.06040640036405-1.57079632675     		φ = 0.48961007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41475006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.763428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48961007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.052591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18547 KachelY 13722 0.41475006 0.48961007 23.763428 28.052591
    Oben rechts KachelX + 1 18548 KachelY 13722 0.41494180 0.48961007 23.774414 28.052591
    Unten links KachelX 18547 KachelY + 1 13723 0.41475006 0.48944085 23.763428 28.042895
    Unten rechts KachelX + 1 18548 KachelY + 1 13723 0.41494180 0.48944085 23.774414 28.042895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48961007-0.48944085) × R
    0.000169220000000025 × 6371000     		dl = 1078.10062000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48961007-0.48944085) × R
    0.000169220000000025 × 6371000     		dr = 1078.10062000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41475006-0.41494180) × cos(0.48961007) × R
    0.000191740000000051 × 0.882516302680718 × 6371000     		do = 1078.06032900629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41475006-0.41494180) × cos(0.48944085) × R
    0.000191740000000051 × 0.882595871131663 × 6371000     		du = 1078.15752787972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48961007)-sin(0.48944085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882516302680718-0.882595871131663)×R²
    abs(0.41494180-0.41475006)×7.95684509449224e-05×R²
    0.000191740000000051×7.95684509449224e-05×6371000²
    0.000191740000000051×7.95684509449224e-05×40589641000000     		ar = 1162309.90695578m²