Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18546 / 15283
↖ ↑ ↗
← N 12.007085°
E 23.752442°		 ← 1 194.91 m → N 12.007085°
E 23.763428°		 →
↑
1 194.94 m
↓
↑
1 194.94 m
↓
N 11.996338°
E 23.752442°		 ← 1 194.96 m →
1 427 882 m²		 N 11.996338°
E 23.763428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565994262695312 y=0.466415405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565994262695312 × 215)
    floor (0.565994262695312 × 32768)
    floor (18546.5)     		tx = 18546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466415405273438 × 215)
    floor (0.466415405273438 × 32768)
    floor (15283.5)     		ty = 15283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18546 / 15283 ti = "15/18546/15283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18546/15283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18546 ÷ 215
    18546 ÷ 32768     		x = 0.56597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15283 ÷ 215
    15283 ÷ 32768     		y = 0.466400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56597900390625 × 2 - 1) × π
    0.1319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41455831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466400146484375 × 2 - 1) × π
    0.06719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.211114105926727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41455831} λ = 0.41455831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211114105926727))-π/2
    2×atan(1.23505327391978)-π/2
    2×0.890179743174188-π/2
    1.78035948634838-1.57079632675     		φ = 0.20956316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41455831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.752442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20956316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.007085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18546 KachelY 15283 0.41455831 0.20956316 23.752442 12.007085
    Oben rechts KachelX + 1 18547 KachelY 15283 0.41475006 0.20956316 23.763428 12.007085
    Unten links KachelX 18546 KachelY + 1 15284 0.41455831 0.20937560 23.752442 11.996338
    Unten rechts KachelX + 1 18547 KachelY + 1 15284 0.41475006 0.20937560 23.763428 11.996338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20956316-0.20937560) × R
    0.000187560000000003 × 6371000     		dl = 1194.94476000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20956316-0.20937560) × R
    0.000187560000000003 × 6371000     		dr = 1194.94476000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41455831-0.41475006) × cos(0.20956316) × R
    0.000191749999999991 × 0.978121885025481 × 6371000     		do = 1194.91208603106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41455831-0.41475006) × cos(0.20937560) × R
    0.000191749999999991 × 0.978160886422083 × 6371000     		du = 1194.95973166795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20956316)-sin(0.20937560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978121885025481-0.978160886422083)×R²
    abs(0.41475006-0.41455831)×3.90013966021785e-05×R²
    0.000191749999999991×3.90013966021785e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.90013966021785e-05×40589641000000     		ar = 1427882.40700155m²