Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18546 / 13714
↖ ↑ ↗
← N 28.130128°
E 23.752442°		 ← 1 077.34 m → N 28.130128°
E 23.763428°		 →
↑
1 077.40 m
↓
↑
1 077.40 m
↓
N 28.120439°
E 23.752442°		 ← 1 077.44 m →
1 160 776 m²		 N 28.120439°
E 23.763428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565994262695312 y=0.418533325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565994262695312 × 215)
    floor (0.565994262695312 × 32768)
    floor (18546.5)     		tx = 18546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418533325195312 × 215)
    floor (0.418533325195312 × 32768)
    floor (13714.5)     		ty = 13714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18546 / 13714 ti = "15/18546/13714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18546/13714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18546 ÷ 215
    18546 ÷ 32768     		x = 0.56597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13714 ÷ 215
    13714 ÷ 32768     		y = 0.41851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56597900390625 × 2 - 1) × π
    0.1319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41455831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.5119660879422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41455831} λ = 0.41455831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5119660879422))-π/2
    2×atan(1.66856852458796)-π/2
    2×1.03087983740724-π/2
    2.06175967481448-1.57079632675     		φ = 0.49096335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41455831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.752442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49096335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.130128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18546 KachelY 13714 0.41455831 0.49096335 23.752442 28.130128
    Oben rechts KachelX + 1 18547 KachelY 13714 0.41475006 0.49096335 23.763428 28.130128
    Unten links KachelX 18546 KachelY + 1 13715 0.41455831 0.49079424 23.752442 28.120439
    Unten rechts KachelX + 1 18547 KachelY + 1 13715 0.41475006 0.49079424 23.763428 28.120439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49096335-0.49079424) × R
    0.000169110000000028 × 6371000     		dl = 1077.39981000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49096335-0.49079424) × R
    0.000169110000000028 × 6371000     		dr = 1077.39981000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41455831-0.41475006) × cos(0.49096335) × R
    0.000191749999999991 × 0.881879071809394 × 6371000     		do = 1077.33808787587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41455831-0.41475006) × cos(0.49079424) × R
    0.000191749999999991 × 0.881958790448652 × 6371000     		du = 1077.43547529455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49096335)-sin(0.49079424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881879071809394-0.881958790448652)×R²
    abs(0.41475006-0.41455831)×7.97186392577087e-05×R²
    0.000191749999999991×7.97186392577087e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.97186392577087e-05×40589641000000     		ar = 1160776.31654294m²