Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18545 / 13720
↖ ↑ ↗
← N 28.071980°
E 23.741455°		 ← 1 077.92 m → N 28.071980°
E 23.752442°		 →
↑
1 077.91 m
↓
↑
1 077.91 m
↓
N 28.062286°
E 23.741455°		 ← 1 078.02 m →
1 161 955 m²		 N 28.062286°
E 23.752442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565963745117188 y=0.418716430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565963745117188 × 215)
    floor (0.565963745117188 × 32768)
    floor (18545.5)     		tx = 18545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418716430664062 × 215)
    floor (0.418716430664062 × 32768)
    floor (13720.5)     		ty = 13720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18545 / 13720 ti = "15/18545/13720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18545/13720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18545 ÷ 215
    18545 ÷ 32768     		x = 0.565948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13720 ÷ 215
    13720 ÷ 32768     		y = 0.418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565948486328125 × 2 - 1) × π
    0.13189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41436656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.510815602351318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41436656} λ = 0.41436656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510815602351318))-π/2
    2×atan(1.66664996439257)-π/2
    2×1.03037240530153-π/2
    2.06074481060306-1.57079632675     		φ = 0.48994848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41436656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48994848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.071980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18545 KachelY 13720 0.41436656 0.48994848 23.741455 28.071980
    Oben rechts KachelX + 1 18546 KachelY 13720 0.41455831 0.48994848 23.752442 28.071980
    Unten links KachelX 18545 KachelY + 1 13721 0.41436656 0.48977929 23.741455 28.062286
    Unten rechts KachelX + 1 18546 KachelY + 1 13721 0.41455831 0.48977929 23.752442 28.062286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48994848-0.48977929) × R
    0.000169190000000041 × 6371000     		dl = 1077.90949000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48994848-0.48977929) × R
    0.000169190000000041 × 6371000     		dr = 1077.90949000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41436656-0.41455831) × cos(0.48994848) × R
    0.000191749999999991 × 0.882357104084877 × 6371000     		do = 1077.92207086637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41436656-0.41455831) × cos(0.48977929) × R
    0.000191749999999991 × 0.882436708958559 × 6371000     		du = 1078.01931930455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48994848)-sin(0.48977929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882357104084877-0.882436708958559)×R²
    abs(0.41455831-0.41436656)×7.960487368186e-05×R²
    0.000191749999999991×7.960487368186e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.960487368186e-05×40589641000000     		ar = 1161954.84494674m²