Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18544 / 22640
↖ ↑ ↗
← S 56.462490°
E 23.730469°		 ← 674.93 m → S 56.462490°
E 23.741455°		 →
↑
674.88 m
↓
↑
674.88 m
↓
S 56.468560°
E 23.730469°		 ← 674.83 m →
455 464 m²		 S 56.468560°
E 23.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565933227539062 y=0.690933227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565933227539062 × 215)
    floor (0.565933227539062 × 32768)
    floor (18544.5)     		tx = 18544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690933227539062 × 215)
    floor (0.690933227539062 × 32768)
    floor (22640.5)     		ty = 22640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18544 / 22640 ti = "15/18544/22640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18544/22640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18544 ÷ 215
    18544 ÷ 32768     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22640 ÷ 215
    22640 ÷ 32768     		y = 0.69091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    -0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19957297609229))-π/2
    2×atan(0.301322856506758)-π/2
    2×0.292669981996998-π/2
    0.585339963993996-1.57079632675     		φ = -0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18544 KachelY 22640 0.41417481 -0.98545636 23.730469 -56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 18545 KachelY 22640 0.41436656 -0.98545636 23.741455 -56.462490
    Unten links KachelX 18544 KachelY + 1 22641 0.41417481 -0.98556229 23.730469 -56.468560
    Unten rechts KachelX + 1 18545 KachelY + 1 22641 0.41436656 -0.98556229 23.741455 -56.468560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98545636--0.98556229) × R
    0.000105929999999921 × 6371000     		dl = 674.880029999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98545636--0.98556229) × R
    0.000105929999999921 × 6371000     		dr = 674.880029999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41436656) × cos(-0.98545636) × R
    0.000191749999999991 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 674.934654909307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41436656) × cos(-0.98556229) × R
    0.000191749999999991 × 0.552394486510025 × 6371000     		du = 674.826786204208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98545636)-sin(-0.98556229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.552394486510025)×R²
    abs(0.41436656-0.41417481)×8.82983295588113e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82983295588113e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82983295588113e-05×40589641000000     		ar = 455463.521361301m²