Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18544 / 13488
↖ ↑ ↗
← N 30.297018°
E 23.730469°		 ← 1 054.79 m → N 30.297018°
E 23.741455°		 →
↑
1 054.85 m
↓
↑
1 054.85 m
↓
N 30.287532°
E 23.730469°		 ← 1 054.89 m →
1 112 695 m²		 N 30.287532°
E 23.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565933227539062 y=0.411636352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565933227539062 × 215)
    floor (0.565933227539062 × 32768)
    floor (18544.5)     		tx = 18544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411636352539062 × 215)
    floor (0.411636352539062 × 32768)
    floor (13488.5)     		ty = 13488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18544 / 13488 ti = "15/18544/13488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18544/13488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18544 ÷ 215
    18544 ÷ 32768     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13488 ÷ 215
    13488 ÷ 32768     		y = 0.41162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    0.1767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.55530104519873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.55530104519873))-π/2
    2×atan(1.74246546668643)-π/2
    2×1.04978952119082-π/2
    2.09957904238164-1.57079632675     		φ = 0.52878272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52878272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.297018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18544 KachelY 13488 0.41417481 0.52878272 23.730469 30.297018
    Oben rechts KachelX + 1 18545 KachelY 13488 0.41436656 0.52878272 23.741455 30.297018
    Unten links KachelX 18544 KachelY + 1 13489 0.41417481 0.52861715 23.730469 30.287532
    Unten rechts KachelX + 1 18545 KachelY + 1 13489 0.41436656 0.52861715 23.741455 30.287532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52878272-0.52861715) × R
    0.000165570000000059 × 6371000     		dl = 1054.84647000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52878272-0.52861715) × R
    0.000165570000000059 × 6371000     		dr = 1054.84647000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41436656) × cos(0.52878272) × R
    0.000191749999999991 × 0.863421806747373 × 6371000     		do = 1054.78996842845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41436656) × cos(0.52861715) × R
    0.000191749999999991 × 0.863505322111156 × 6371000     		du = 1054.89199407483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52878272)-sin(0.52861715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863421806747373-0.863505322111156)×R²
    abs(0.41436656-0.41417481)×8.35153637834818e-05×R²
    0.000191749999999991×8.35153637834818e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.35153637834818e-05×40589641000000     		ar = 1112695.28802676m²