Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18543 / 22641
↖ ↑ ↗
← S 56.468560°
E 23.719483°		 ← 674.79 m → S 56.468560°
E 23.730469°		 →
↑
674.75 m
↓
↑
674.75 m
↓
S 56.474628°
E 23.719483°		 ← 674.68 m →
455 281 m²		 S 56.474628°
E 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565902709960938 y=0.690963745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565902709960938 × 215)
    floor (0.565902709960938 × 32768)
    floor (18543.5)     		tx = 18543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690963745117188 × 215)
    floor (0.690963745117188 × 32768)
    floor (22641.5)     		ty = 22641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18543 / 22641 ti = "15/18543/22641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18543/22641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18543 ÷ 215
    18543 ÷ 32768     		x = 0.565887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22641 ÷ 215
    22641 ÷ 32768     		y = 0.690948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565887451171875 × 2 - 1) × π
    0.13177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41398307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.38189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19976472369077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41398307} λ = 0.41398307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19976472369077))-π/2
    2×atan(0.301265084111691)-π/2
    2×0.292617017606387-π/2
    0.585234035212774-1.57079632675     		φ = -0.98556229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41398307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98556229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.468560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18543 KachelY 22641 0.41398307 -0.98556229 23.719483 -56.468560
    Oben rechts KachelX + 1 18544 KachelY 22641 0.41417481 -0.98556229 23.730469 -56.468560
    Unten links KachelX 18543 KachelY + 1 22642 0.41398307 -0.98566820 23.719483 -56.474628
    Unten rechts KachelX + 1 18544 KachelY + 1 22642 0.41417481 -0.98566820 23.730469 -56.474628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98556229--0.98566820) × R
    0.000105910000000042 × 6371000     		dl = 674.75261000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98556229--0.98566820) × R
    0.000105910000000042 × 6371000     		dr = 674.75261000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41398307-0.41417481) × cos(-0.98556229) × R
    0.000191739999999996 × 0.552394486510025 × 6371000     		do = 674.791593151491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41398307-0.41417481) × cos(-0.98566820) × R
    0.000191739999999996 × 0.552306198654783 × 6371000     		du = 674.683742867049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98556229)-sin(-0.98566820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552394486510025-0.552306198654783)×R²
    abs(0.41417481-0.41398307)×8.8287855241731e-05×R²
    0.000191739999999996×8.8287855241731e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.8287855241731e-05×40589641000000     		ar = 455281.002980255m²