Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18543 / 15313
↖ ↑ ↗
← N 11.684515°
E 23.719483°		 ← 1 196.26 m → N 11.684515°
E 23.730469°		 →
↑
1 196.35 m
↓
↑
1 196.35 m
↓
N 11.673756°
E 23.719483°		 ← 1 196.31 m →
1 431 171 m²		 N 11.673756°
E 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565902709960938 y=0.467330932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565902709960938 × 215)
    floor (0.565902709960938 × 32768)
    floor (18543.5)     		tx = 18543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467330932617188 × 215)
    floor (0.467330932617188 × 32768)
    floor (15313.5)     		ty = 15313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18543 / 15313 ti = "15/18543/15313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18543/15313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18543 ÷ 215
    18543 ÷ 32768     		x = 0.565887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15313 ÷ 215
    15313 ÷ 32768     		y = 0.467315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565887451171875 × 2 - 1) × π
    0.13177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41398307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467315673828125 × 2 - 1) × π
    0.06536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.205361677972321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41398307} λ = 0.41398307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205361677972321))-π/2
    2×atan(1.22796911403619)-π/2
    2×0.887364786210661-π/2
    1.77472957242132-1.57079632675     		φ = 0.20393325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41398307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20393325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.684515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18543 KachelY 15313 0.41398307 0.20393325 23.719483 11.684515
    Oben rechts KachelX + 1 18544 KachelY 15313 0.41417481 0.20393325 23.730469 11.684515
    Unten links KachelX 18543 KachelY + 1 15314 0.41398307 0.20374547 23.719483 11.673756
    Unten rechts KachelX + 1 18544 KachelY + 1 15314 0.41417481 0.20374547 23.730469 11.673756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20393325-0.20374547) × R
    0.000187779999999999 × 6371000     		dl = 1196.34637999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20393325-0.20374547) × R
    0.000187779999999999 × 6371000     		dr = 1196.34637999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41398307-0.41417481) × cos(0.20393325) × R
    0.000191739999999996 × 0.979277582682254 × 6371000     		do = 1196.26154187494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41398307-0.41417481) × cos(0.20374547) × R
    0.000191739999999996 × 0.97931559511636 × 6371000     		du = 1196.30797693466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20393325)-sin(0.20374547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979277582682254-0.97931559511636)×R²
    abs(0.41417481-0.41398307)×3.80124341062826e-05×R²
    0.000191739999999996×3.80124341062826e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.80124341062826e-05×40589641000000     		ar = 1431170.94556853m²