Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18543 / 14383
↖ ↑ ↗
← N 70.526728°
W 78.140259°		 ← 203.62 m → N 70.526728°
W 78.134766°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
N 70.524897°
W 78.140259°		 ← 203.63 m →
41 462 m²		 N 70.524897°
W 78.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282951354980469 y=0.219474792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282951354980469 × 216)
    floor (0.282951354980469 × 65536)
    floor (18543.5)     		tx = 18543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219474792480469 × 216)
    floor (0.219474792480469 × 65536)
    floor (14383.5)     		ty = 14383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18543 / 14383 ti = "16/18543/14383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18543/14383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18543 ÷ 216
    18543 ÷ 65536     		x = 0.282943725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14383 ÷ 216
    14383 ÷ 65536     		y = 0.219467163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282943725585938 × 2 - 1) × π
    -0.434112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36380479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219467163085938 × 2 - 1) × π
    0.561065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76263979902946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36380479} λ = -1.36380479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76263979902946))-π/2
    2×atan(5.8278013309255)-π/2
    2×1.40085997532704-π/2
    2.80171995065407-1.57079632675     		φ = 1.23092362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36380479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.140259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23092362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.526728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18543 KachelY 14383 -1.36380479 1.23092362 -78.140259 70.526728
    Oben rechts KachelX + 1 18544 KachelY 14383 -1.36370892 1.23092362 -78.134766 70.526728
    Unten links KachelX 18543 KachelY + 1 14384 -1.36380479 1.23089166 -78.140259 70.524897
    Unten rechts KachelX + 1 18544 KachelY + 1 14384 -1.36370892 1.23089166 -78.134766 70.524897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23092362-1.23089166) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dl = 203.617160000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23092362-1.23089166) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dr = 203.617160000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36380479--1.36370892) × cos(1.23092362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333367083176298 × 6371000     		do = 203.616537324651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36380479--1.36370892) × cos(1.23089166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333397214801624 × 6371000     		du = 203.634941352891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23092362)-sin(1.23089166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333367083176298-0.333397214801624)×R²
    abs(-1.36370892--1.36380479)×3.01316253260575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01316253260575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01316253260575e-05×40589641000000     		ar = 41461.6947506908m²