Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18542 / 51470
↖ ↑ ↗
← S 71.098984°
W 78.145752°		 ← 197.88 m → S 71.098984°
W 78.140259°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
S 71.100763°
W 78.145752°		 ← 197.86 m →
39 142 m²		 S 71.100763°
W 78.140259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282936096191406 y=0.785377502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282936096191406 × 216)
    floor (0.282936096191406 × 65536)
    floor (18542.5)     		tx = 18542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785377502441406 × 216)
    floor (0.785377502441406 × 65536)
    floor (51470.5)     		ty = 51470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18542 / 51470 ti = "16/18542/51470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18542/51470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18542 ÷ 216
    18542 ÷ 65536     		x = 0.282928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51470 ÷ 216
    51470 ÷ 65536     		y = 0.785369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.43414306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36390067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.57073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79303179338858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36390067} λ = -1.36390067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79303179338858))-π/2
    2×atan(0.166454747483449)-π/2
    2×0.164942478693748-π/2
    0.329884957387497-1.57079632675     		φ = -1.24091137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36390067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.145752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24091137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.098984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18542 KachelY 51470 -1.36390067 -1.24091137 -78.145752 -71.098984
    Oben rechts KachelX + 1 18543 KachelY 51470 -1.36380479 -1.24091137 -78.140259 -71.098984
    Unten links KachelX 18542 KachelY + 1 51471 -1.36390067 -1.24094242 -78.145752 -71.100763
    Unten rechts KachelX + 1 18543 KachelY + 1 51471 -1.36380479 -1.24094242 -78.140259 -71.100763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24091137--1.24094242) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dl = 197.819550000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24091137--1.24094242) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dr = 197.819550000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36390067--1.36380479) × cos(-1.24091137) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3239341905074 × 6371000     		do = 197.875679693918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36390067--1.36380479) × cos(-1.24094242) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323904814579169 × 6371000     		du = 197.857735364681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24091137)-sin(-1.24094242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3239341905074-0.323904814579169)×R²
    abs(-1.36380479--1.36390067)×2.93759282317119e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93759282317119e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93759282317119e-05×40589641000000     		ar = 39141.9030468334m²