Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18542 / 15271
↖ ↑ ↗
← N 12.136005°
E 23.708496°		 ← 1 194.34 m → N 12.136005°
E 23.719483°		 →
↑
1 194.37 m
↓
↑
1 194.37 m
↓
N 12.125264°
E 23.708496°		 ← 1 194.39 m →
1 426 511 m²		 N 12.125264°
E 23.719483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565872192382812 y=0.466049194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565872192382812 × 215)
    floor (0.565872192382812 × 32768)
    floor (18542.5)     		tx = 18542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466049194335938 × 215)
    floor (0.466049194335938 × 32768)
    floor (15271.5)     		ty = 15271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18542 / 15271 ti = "15/18542/15271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18542/15271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18542 ÷ 215
    18542 ÷ 32768     		x = 0.56585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15271 ÷ 215
    15271 ÷ 32768     		y = 0.466033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56585693359375 × 2 - 1) × π
    0.1317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41379132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466033935546875 × 2 - 1) × π
    0.06793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.21341507710849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41379132} λ = 0.41379132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21341507710849))-π/2
    2×atan(1.23789836789536)-π/2
    2×0.891304788071371-π/2
    1.78260957614274-1.57079632675     		φ = 0.21181325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41379132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21181325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.136005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18542 KachelY 15271 0.41379132 0.21181325 23.708496 12.136005
    Oben rechts KachelX + 1 18543 KachelY 15271 0.41398307 0.21181325 23.719483 12.136005
    Unten links KachelX 18542 KachelY + 1 15272 0.41379132 0.21162578 23.708496 12.125264
    Unten rechts KachelX + 1 18543 KachelY + 1 15272 0.41398307 0.21162578 23.719483 12.125264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21181325-0.21162578) × R
    0.000187469999999995 × 6371000     		dl = 1194.37136999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21181325-0.21162578) × R
    0.000187469999999995 × 6371000     		dr = 1194.37136999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41379132-0.41398307) × cos(0.21181325) × R
    0.000191749999999991 × 0.977651317196351 × 6371000     		do = 1194.3372219012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41379132-0.41398307) × cos(0.21162578) × R
    0.000191749999999991 × 0.977690712391366 × 6371000     		du = 1194.3853486177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21181325)-sin(0.21162578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977651317196351-0.977690712391366)×R²
    abs(0.41398307-0.41379132)×3.93951950147242e-05×R²
    0.000191749999999991×3.93951950147242e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.93951950147242e-05×40589641000000     		ar = 1426510.92872828m²