Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18542 / 15139
↖ ↑ ↗
← N 13.549881°
E 23.708496°		 ← 1 187.64 m → N 13.549881°
E 23.719483°		 →
↑
1 187.62 m
↓
↑
1 187.62 m
↓
N 13.539201°
E 23.708496°		 ← 1 187.69 m →
1 410 490 m²		 N 13.539201°
E 23.719483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565872192382812 y=0.462020874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565872192382812 × 215)
    floor (0.565872192382812 × 32768)
    floor (18542.5)     		tx = 18542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462020874023438 × 215)
    floor (0.462020874023438 × 32768)
    floor (15139.5)     		ty = 15139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18542 / 15139 ti = "15/18542/15139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18542/15139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18542 ÷ 215
    18542 ÷ 32768     		x = 0.56585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15139 ÷ 215
    15139 ÷ 32768     		y = 0.462005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56585693359375 × 2 - 1) × π
    0.1317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41379132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462005615234375 × 2 - 1) × π
    0.07598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.23872576010788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41379132} λ = 0.41379132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23872576010788))-π/2
    2×atan(1.26963030555857)-π/2
    2×0.90364318564593-π/2
    1.80728637129186-1.57079632675     		φ = 0.23649004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41379132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23649004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.549881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18542 KachelY 15139 0.41379132 0.23649004 23.708496 13.549881
    Oben rechts KachelX + 1 18543 KachelY 15139 0.41398307 0.23649004 23.719483 13.549881
    Unten links KachelX 18542 KachelY + 1 15140 0.41379132 0.23630363 23.708496 13.539201
    Unten rechts KachelX + 1 18543 KachelY + 1 15140 0.41398307 0.23630363 23.719483 13.539201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23649004-0.23630363) × R
    0.000186410000000026 × 6371000     		dl = 1187.61811000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23649004-0.23630363) × R
    0.000186410000000026 × 6371000     		dr = 1187.61811000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41379132-0.41398307) × cos(0.23649004) × R
    0.000191749999999991 × 0.972166316501585 × 6371000     		do = 1187.6365297662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41379132-0.41398307) × cos(0.23630363) × R
    0.000191749999999991 × 0.972209973947211 × 6371000     		du = 1187.68986341533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23649004)-sin(0.23630363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972166316501585-0.972209973947211)×R²
    abs(0.41398307-0.41379132)×4.36574456260663e-05×R²
    0.000191749999999991×4.36574456260663e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.36574456260663e-05×40589641000000     		ar = 1410490.32493625m²