Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18542 / 15138
↖ ↑ ↗
← N 13.560562°
E 23.708496°		 ← 1 187.58 m → N 13.560562°
E 23.719483°		 →
↑
1 187.62 m
↓
↑
1 187.62 m
↓
N 13.549881°
E 23.708496°		 ← 1 187.64 m →
1 410 427 m²		 N 13.549881°
E 23.719483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565872192382812 y=0.461990356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565872192382812 × 215)
    floor (0.565872192382812 × 32768)
    floor (18542.5)     		tx = 18542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461990356445312 × 215)
    floor (0.461990356445312 × 32768)
    floor (15138.5)     		ty = 15138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18542 / 15138 ti = "15/18542/15138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18542/15138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18542 ÷ 215
    18542 ÷ 32768     		x = 0.56585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15138 ÷ 215
    15138 ÷ 32768     		y = 0.46197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56585693359375 × 2 - 1) × π
    0.1317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41379132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    0.0760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.23891750770636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41379132} λ = 0.41379132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23891750770636))-π/2
    2×atan(1.26987377746245)-π/2
    2×0.903736388829959-π/2
    1.80747277765992-1.57079632675     		φ = 0.23667645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41379132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23667645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.560562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18542 KachelY 15138 0.41379132 0.23667645 23.708496 13.560562
    Oben rechts KachelX + 1 18543 KachelY 15138 0.41398307 0.23667645 23.719483 13.560562
    Unten links KachelX 18542 KachelY + 1 15139 0.41379132 0.23649004 23.708496 13.549881
    Unten rechts KachelX + 1 18543 KachelY + 1 15139 0.41398307 0.23649004 23.719483 13.549881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23667645-0.23649004) × R
    0.000186409999999998 × 6371000     		dl = 1187.61810999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23667645-0.23649004) × R
    0.000186409999999998 × 6371000     		dr = 1187.61810999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41379132-0.41398307) × cos(0.23667645) × R
    0.000191749999999991 × 0.972122625274455 × 6371000     		do = 1187.58315484826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41379132-0.41398307) × cos(0.23649004) × R
    0.000191749999999991 × 0.972166316501585 × 6371000     		du = 1187.6365297662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23667645)-sin(0.23649004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972122625274455-0.972166316501585)×R²
    abs(0.41398307-0.41379132)×4.36912271299938e-05×R²
    0.000191749999999991×4.36912271299938e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.36912271299938e-05×40589641000000     		ar = 1410426.96042238m²