Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18541 / 51493
↖ ↑ ↗
← S 71.139868°
W 78.151245°		 ← 197.44 m → S 71.139868°
W 78.145752°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
S 71.141644°
W 78.151245°		 ← 197.42 m →
38 981 m²		 S 71.141644°
W 78.145752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282920837402344 y=0.785728454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282920837402344 × 216)
    floor (0.282920837402344 × 65536)
    floor (18541.5)     		tx = 18541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785728454589844 × 216)
    floor (0.785728454589844 × 65536)
    floor (51493.5)     		ty = 51493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18541 / 51493 ti = "16/18541/51493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18541/51493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18541 ÷ 216
    18541 ÷ 65536     		x = 0.282913208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51493 ÷ 216
    51493 ÷ 65536     		y = 0.785720825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282913208007812 × 2 - 1) × π
    -0.434173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36399654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785720825195312 × 2 - 1) × π
    -0.571441650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7952368907711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36399654} λ = -1.36399654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7952368907711))-π/2
    2×atan(0.166088102947484)-π/2
    2×0.1645856977928-π/2
    0.3291713955856-1.57079632675     		φ = -1.24162493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36399654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.151245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24162493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.139868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18541 KachelY 51493 -1.36399654 -1.24162493 -78.151245 -71.139868
    Oben rechts KachelX + 1 18542 KachelY 51493 -1.36390067 -1.24162493 -78.145752 -71.139868
    Unten links KachelX 18541 KachelY + 1 51494 -1.36399654 -1.24165592 -78.151245 -71.141644
    Unten rechts KachelX + 1 18542 KachelY + 1 51494 -1.36390067 -1.24165592 -78.145752 -71.141644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24162493--1.24165592) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dl = 197.437289999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24162493--1.24165592) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dr = 197.437289999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36399654--1.36390067) × cos(-1.24162493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323259023525304 × 6371000     		do = 197.442658111393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36399654--1.36390067) × cos(-1.24165592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323229697207011 × 6371000     		du = 197.424745954841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24162493)-sin(-1.24165592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323259023525304-0.323229697207011)×R²
    abs(-1.36390067--1.36399654)×2.93263182922776e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93263182922776e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93263182922776e-05×40589641000000     		ar = 38980.7750871752m²