Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18541 / 51472
↖ ↑ ↗
← S 71.102543°
W 78.151245°		 ← 197.82 m → S 71.102543°
W 78.145752°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
S 71.104322°
W 78.151245°		 ← 197.80 m →
39 131 m²		 S 71.104322°
W 78.145752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282920837402344 y=0.785408020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282920837402344 × 216)
    floor (0.282920837402344 × 65536)
    floor (18541.5)     		tx = 18541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785408020019531 × 216)
    floor (0.785408020019531 × 65536)
    floor (51472.5)     		ty = 51472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18541 / 51472 ti = "16/18541/51472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18541/51472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18541 ÷ 216
    18541 ÷ 65536     		x = 0.282913208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51472 ÷ 216
    51472 ÷ 65536     		y = 0.785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282913208007812 × 2 - 1) × π
    -0.434173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36399654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.57080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79322354098706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36399654} λ = -1.36399654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79322354098706))-π/2
    2×atan(0.1664228332452)-π/2
    2×0.16491142470898-π/2
    0.329822849417961-1.57079632675     		φ = -1.24097348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36399654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.151245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24097348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.102543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18541 KachelY 51472 -1.36399654 -1.24097348 -78.151245 -71.102543
    Oben rechts KachelX + 1 18542 KachelY 51472 -1.36390067 -1.24097348 -78.145752 -71.102543
    Unten links KachelX 18541 KachelY + 1 51473 -1.36399654 -1.24100453 -78.151245 -71.104322
    Unten rechts KachelX + 1 18542 KachelY + 1 51473 -1.36390067 -1.24100453 -78.145752 -71.104322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24097348--1.24100453) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dl = 197.819550000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24097348--1.24100453) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dr = 197.819550000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36399654--1.36390067) × cos(-1.24097348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323875428877662 × 6371000     		do = 197.819150961977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36399654--1.36390067) × cos(-1.24100453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323846052324804 × 6371000     		du = 197.801208122766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24097348)-sin(-1.24100453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323875428877662-0.323846052324804)×R²
    abs(-1.36390067--1.36399654)×2.93765528588397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93765528588397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93765528588397e-05×40589641000000     		ar = 39130.7207055363m²