Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18540 / 22780
↖ ↑ ↗
← N 75.322809°
W129.078369°		 ← 77.37 m → N 75.322809°
W129.075623°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
N 75.322113°
W129.078369°		 ← 77.37 m →
5 989 m²		 N 75.322113°
W129.075623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141452789306641 y=0.173801422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141452789306641 × 217)
    floor (0.141452789306641 × 131072)
    floor (18540.5)     		tx = 18540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173801422119141 × 217)
    floor (0.173801422119141 × 131072)
    floor (22780.5)     		ty = 22780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18540 / 22780 ti = "17/18540/22780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18540/22780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18540 ÷ 217
    18540 ÷ 131072     		x = 0.141448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22780 ÷ 217
    22780 ÷ 131072     		y = 0.173797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.71710205078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25284253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173797607421875 × 2 - 1) × π
    0.65240478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04959008015512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25284253} λ = -2.25284253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04959008015512))-π/2
    2×atan(7.7647175420379)-π/2
    2×1.4427136739555-π/2
    2.885427347911-1.57079632675     		φ = 1.31463102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25284253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.078369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31463102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.322809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18540 KachelY 22780 -2.25284253 1.31463102 -129.078369 75.322809
    Oben rechts KachelX + 1 18541 KachelY 22780 -2.25279460 1.31463102 -129.075623 75.322809
    Unten links KachelX 18540 KachelY + 1 22781 -2.25284253 1.31461887 -129.078369 75.322113
    Unten rechts KachelX + 1 18541 KachelY + 1 22781 -2.25279460 1.31461887 -129.075623 75.322113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31463102-1.31461887) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dl = 77.4076499992198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31463102-1.31461887) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dr = 77.4076499992198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25284253--2.25279460) × cos(1.31463102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.253372861725772 × 6371000     		do = 77.3704514035384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25284253--2.25279460) × cos(1.31461887) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.253384615236719 × 6371000     		du = 77.3740404795009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31463102)-sin(1.31461887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253372861725772-0.253384615236719)×R²
    abs(-2.25279460--2.25284253)×1.17535109475653e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.17535109475653e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.17535109475653e-05×40589641000000     		ar = 5989.20373363106m²