Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1854 / 1861
↖ ↑ ↗
← S 81.228267°
E145.898438°		 ← 2 980.73 m → S 81.228267°
E146.074219°		 →
↑
2 976.21 m
↓
↑
2 976.21 m
↓
S 81.255032°
E145.898438°		 ← 2 971.70 m →
8 857 849 m²		 S 81.255032°
E146.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905517578125 y=0.908935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905517578125 × 211)
    floor (0.905517578125 × 2048)
    floor (1854.5)     		tx = 1854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908935546875 × 211)
    floor (0.908935546875 × 2048)
    floor (1861.5)     		ty = 1861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1854 / 1861 ti = "11/1854/1861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1854/1861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1854 ÷ 211
    1854 ÷ 2048     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1861 ÷ 211
    1861 ÷ 2048     		y = 0.90869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90869140625 × 2 - 1) × π
    -0.8173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56788383884717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56788383884717))-π/2
    2×atan(0.0766976784612615)-π/2
    2×0.0765478148227569-π/2
    0.153095629645514-1.57079632675     		φ = -1.41770070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41770070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.228267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1854 KachelY 1861 2.54640811 -1.41770070 145.898438 -81.228267
    Oben rechts KachelX + 1 1855 KachelY 1861 2.54947607 -1.41770070 146.074219 -81.228267
    Unten links KachelX 1854 KachelY + 1 1862 2.54640811 -1.41816785 145.898438 -81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 1855 KachelY + 1 1862 2.54947607 -1.41816785 146.074219 -81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41770070--1.41816785) × R
    0.000467149999999972 × 6371000     		dl = 2976.21264999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41770070--1.41816785) × R
    0.000467149999999972 × 6371000     		dr = 2976.21264999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.54947607) × cos(-1.41770070) × R
    0.00306796000000009 × 0.152498277802654 × 6371000     		do = 2980.72724487698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.54947607) × cos(-1.41816785) × R
    0.00306796000000009 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 2971.70281603253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41770070)-sin(-1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152498277802654-0.152036575089231)×R²
    abs(2.54947607-2.54640811)×0.000461702713422218×R²
    0.00306796000000009×0.000461702713422218×6371000²
    0.00306796000000009×0.000461702713422218×40589641000000     		ar = 8857848.9838392m²