Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1854 / 1473
↖ ↑ ↗
← N 74.764299°
W 98.525390°		 ← 1 284.12 m → N 74.764299°
W 98.481445°		 →
↑
1 284.58 m
↓
↑
1 284.58 m
↓
N 74.752746°
W 98.525390°		 ← 1 285.07 m →
1 650 176 m²		 N 74.752746°
W 98.481445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22637939453125 y=0.17987060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22637939453125 × 213)
    floor (0.22637939453125 × 8192)
    floor (1854.5)     		tx = 1854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17987060546875 × 213)
    floor (0.17987060546875 × 8192)
    floor (1473.5)     		ty = 1473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1854 / 1473 ti = "13/1854/1473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1854/1473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1854 ÷ 213
    1854 ÷ 8192     		x = 0.226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1473 ÷ 213
    1473 ÷ 8192     		y = 0.1798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.54736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71959246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1798095703125 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01181580325452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71959246} λ = -1.71959246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01181580325452))-π/2
    2×atan(7.47688157450495)-π/2
    2×1.4378397525117-π/2
    2.87567950502341-1.57079632675     		φ = 1.30488318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71959246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.525390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30488318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.764299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1854 KachelY 1473 -1.71959246 1.30488318 -98.525390 74.764299
    Oben rechts KachelX + 1 1855 KachelY 1473 -1.71882547 1.30488318 -98.481445 74.764299
    Unten links KachelX 1854 KachelY + 1 1474 -1.71959246 1.30468155 -98.525390 74.752746
    Unten rechts KachelX + 1 1855 KachelY + 1 1474 -1.71882547 1.30468155 -98.481445 74.752746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30488318-1.30468155) × R
    0.000201630000000064 × 6371000     		dl = 1284.58473000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30488318-1.30468155) × R
    0.000201630000000064 × 6371000     		dr = 1284.58473000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71959246--1.71882547) × cos(1.30488318) × R
    0.000766990000000023 × 0.26279042995619 × 6371000     		do = 1284.12367265717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71959246--1.71882547) × cos(1.30468155) × R
    0.000766990000000023 × 0.262984967910719 × 6371000     		du = 1285.07428106663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30488318)-sin(1.30468155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26279042995619-0.262984967910719)×R²
    abs(-1.71882547--1.71959246)×0.000194537954529894×R²
    0.000766990000000023×0.000194537954529894×6371000²
    0.000766990000000023×0.000194537954529894×40589641000000     		ar = 1650176.23543987m²