Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18539 / 22606
↖ ↑ ↗
← S 56.255557°
E 23.675537°		 ← 678.61 m → S 56.255557°
E 23.686523°		 →
↑
678.58 m
↓
↑
678.58 m
↓
S 56.261660°
E 23.675537°		 ← 678.50 m →
460 450 m²		 S 56.261660°
E 23.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565780639648438 y=0.689895629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565780639648438 × 215)
    floor (0.565780639648438 × 32768)
    floor (18539.5)     		tx = 18539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689895629882812 × 215)
    floor (0.689895629882812 × 32768)
    floor (22606.5)     		ty = 22606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18539 / 22606 ti = "15/18539/22606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18539/22606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18539 ÷ 215
    18539 ÷ 32768     		x = 0.565765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22606 ÷ 215
    22606 ÷ 32768     		y = 0.68988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565765380859375 × 2 - 1) × π
    0.13153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41321607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.3797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19305355774396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41321607} λ = 0.41321607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19305355774396))-π/2
    2×atan(0.303293723739626)-π/2
    2×0.294475813366409-π/2
    0.588951626732818-1.57079632675     		φ = -0.98184470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41321607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.675537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98184470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.255557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18539 KachelY 22606 0.41321607 -0.98184470 23.675537 -56.255557
    Oben rechts KachelX + 1 18540 KachelY 22606 0.41340782 -0.98184470 23.686523 -56.255557
    Unten links KachelX 18539 KachelY + 1 22607 0.41321607 -0.98195121 23.675537 -56.261660
    Unten rechts KachelX + 1 18540 KachelY + 1 22607 0.41340782 -0.98195121 23.686523 -56.261660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98184470--0.98195121) × R
    0.000106509999999949 × 6371000     		dl = 678.575209999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98184470--0.98195121) × R
    0.000106509999999949 × 6371000     		dr = 678.575209999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41321607-0.41340782) × cos(-0.98184470) × R
    0.000191749999999991 × 0.555489581384978 × 6371000     		do = 678.607875585925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41321607-0.41340782) × cos(-0.98195121) × R
    0.000191749999999991 × 0.555401012666707 × 6371000     		du = 678.499676563363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98184470)-sin(-0.98195121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555489581384978-0.555401012666707)×R²
    abs(0.41340782-0.41321607)×8.85687182706762e-05×R²
    0.000191749999999991×8.85687182706762e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.85687182706762e-05×40589641000000     		ar = 460449.771530832m²