Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18537 / 19566
↖ ↑ ↗
← S 32.971804°
E 23.653564°		 ← 1 024.88 m → S 32.971804°
E 23.664551°		 →
↑
1 024.78 m
↓
↑
1 024.78 m
↓
S 32.981020°
E 23.653564°		 ← 1 024.77 m →
1 050 217 m²		 S 32.981020°
E 23.664551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565719604492188 y=0.597122192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565719604492188 × 215)
    floor (0.565719604492188 × 32768)
    floor (18537.5)     		tx = 18537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597122192382812 × 215)
    floor (0.597122192382812 × 32768)
    floor (19566.5)     		ty = 19566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18537 / 19566 ti = "15/18537/19566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18537/19566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18537 ÷ 215
    18537 ÷ 32768     		x = 0.565704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19566 ÷ 215
    19566 ÷ 32768     		y = 0.59710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565704345703125 × 2 - 1) × π
    0.13140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41283258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.610140858364075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41283258} λ = 0.41283258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610140858364075))-π/2
    2×atan(0.543274338950044)-π/2
    2×0.497664895295294-π/2
    0.995329790590587-1.57079632675     		φ = -0.57546654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41283258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.653564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57546654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.971804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18537 KachelY 19566 0.41283258 -0.57546654 23.653564 -32.971804
    Oben rechts KachelX + 1 18538 KachelY 19566 0.41302433 -0.57546654 23.664551 -32.971804
    Unten links KachelX 18537 KachelY + 1 19567 0.41283258 -0.57562739 23.653564 -32.981020
    Unten rechts KachelX + 1 18538 KachelY + 1 19567 0.41302433 -0.57562739 23.664551 -32.981020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57546654--0.57562739) × R
    0.00016084999999999 × 6371000     		dl = 1024.77534999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57546654--0.57562739) × R
    0.00016084999999999 × 6371000     		dr = 1024.77534999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41283258-0.41302433) × cos(-0.57546654) × R
    0.000191749999999991 × 0.838938490417496 × 6371000     		do = 1024.88018822971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41283258-0.41302433) × cos(-0.57562739) × R
    0.000191749999999991 × 0.838850940773029 × 6371000     		du = 1024.77323414771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57546654)-sin(-0.57562739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838938490417496-0.838850940773029)×R²
    abs(0.41302433-0.41283258)×8.75496444666668e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75496444666668e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75496444666668e-05×40589641000000     		ar = 1050217.15391248m²