Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18537 / 13757
↖ ↑ ↗
← N 27.712710°
E 23.653564°		 ← 1 081.51 m → N 27.712710°
E 23.664551°		 →
↑
1 081.54 m
↓
↑
1 081.54 m
↓
N 27.702984°
E 23.653564°		 ← 1 081.60 m →
1 169 745 m²		 N 27.702984°
E 23.664551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565719604492188 y=0.419845581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565719604492188 × 215)
    floor (0.565719604492188 × 32768)
    floor (18537.5)     		tx = 18537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419845581054688 × 215)
    floor (0.419845581054688 × 32768)
    floor (13757.5)     		ty = 13757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18537 / 13757 ti = "15/18537/13757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18537/13757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18537 ÷ 215
    18537 ÷ 32768     		x = 0.565704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13757 ÷ 215
    13757 ÷ 32768     		y = 0.419830322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565704345703125 × 2 - 1) × π
    0.13140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41283258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419830322265625 × 2 - 1) × π
    0.16033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.50372094120755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41283258} λ = 0.41283258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50372094120755))-π/2
    2×atan(1.65486749339127)-π/2
    2×1.02723718274293-π/2
    2.05447436548585-1.57079632675     		φ = 0.48367804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41283258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.653564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48367804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.712710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18537 KachelY 13757 0.41283258 0.48367804 23.653564 27.712710
    Oben rechts KachelX + 1 18538 KachelY 13757 0.41302433 0.48367804 23.664551 27.712710
    Unten links KachelX 18537 KachelY + 1 13758 0.41283258 0.48350828 23.653564 27.702984
    Unten rechts KachelX + 1 18538 KachelY + 1 13758 0.41302433 0.48350828 23.664551 27.702984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48367804-0.48350828) × R
    0.000169759999999963 × 6371000     		dl = 1081.54095999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48367804-0.48350828) × R
    0.000169759999999963 × 6371000     		dr = 1081.54095999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41283258-0.41302433) × cos(0.48367804) × R
    0.000191749999999991 × 0.885290484712644 × 6371000     		do = 1081.50560377644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41283258-0.41302433) × cos(0.48350828) × R
    0.000191749999999991 × 0.885369416882763 × 6371000     		du = 1081.60203041354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48367804)-sin(0.48350828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885290484712644-0.885369416882763)×R²
    abs(0.41302433-0.41283258)×7.89321701196721e-05×R²
    0.000191749999999991×7.89321701196721e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.89321701196721e-05×40589641000000     		ar = 1169744.75644156m²