Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18536 / 15285
↖ ↑ ↗
← N 11.985592°
E 23.642578°		 ← 1 195.01 m → N 11.985592°
E 23.653564°		 →
↑
1 195.01 m
↓
↑
1 195.01 m
↓
N 11.974845°
E 23.642578°		 ← 1 195.05 m →
1 428 072 m²		 N 11.974845°
E 23.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565689086914062 y=0.466476440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565689086914062 × 215)
    floor (0.565689086914062 × 32768)
    floor (18536.5)     		tx = 18536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466476440429688 × 215)
    floor (0.466476440429688 × 32768)
    floor (15285.5)     		ty = 15285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18536 / 15285 ti = "15/18536/15285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18536/15285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18536 ÷ 215
    18536 ÷ 32768     		x = 0.565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15285 ÷ 215
    15285 ÷ 32768     		y = 0.466461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565673828125 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466461181640625 × 2 - 1) × π
    0.06707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.210730610729767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41264083} λ = 0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.210730610729767))-π/2
    2×atan(1.23457972772839)-π/2
    2×0.889992183174471-π/2
    1.77998436634894-1.57079632675     		φ = 0.20918804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20918804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.985592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18536 KachelY 15285 0.41264083 0.20918804 23.642578 11.985592
    Oben rechts KachelX + 1 18537 KachelY 15285 0.41283258 0.20918804 23.653564 11.985592
    Unten links KachelX 18536 KachelY + 1 15286 0.41264083 0.20900047 23.642578 11.974845
    Unten rechts KachelX + 1 18537 KachelY + 1 15286 0.41283258 0.20900047 23.653564 11.974845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20918804-0.20900047) × R
    0.000187569999999998 × 6371000     		dl = 1195.00846999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20918804-0.20900047) × R
    0.000187569999999998 × 6371000     		dr = 1195.00846999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41264083-0.41283258) × cos(0.20918804) × R
    0.000191749999999991 × 0.978199853408205 × 6371000     		do = 1195.00733526765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41264083-0.41283258) × cos(0.20900047) × R
    0.000191749999999991 × 0.978238788057297 × 6371000     		du = 1195.05489936317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20918804)-sin(0.20900047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978199853408205-0.978238788057297)×R²
    abs(0.41283258-0.41264083)×3.89346490923259e-05×R²
    0.000191749999999991×3.89346490923259e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.89346490923259e-05×40589641000000     		ar = 1428072.31129239m²