Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18536 / 14232
↖ ↑ ↗
← N 22.998851°
E 23.642578°		 ← 1 124.53 m → N 22.998851°
E 23.653564°		 →
↑
1 124.55 m
↓
↑
1 124.55 m
↓
N 22.988738°
E 23.642578°		 ← 1 124.62 m →
1 264 637 m²		 N 22.988738°
E 23.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565689086914062 y=0.434341430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565689086914062 × 215)
    floor (0.565689086914062 × 32768)
    floor (18536.5)     		tx = 18536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434341430664062 × 215)
    floor (0.434341430664062 × 32768)
    floor (14232.5)     		ty = 14232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18536 / 14232 ti = "15/18536/14232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18536/14232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18536 ÷ 215
    18536 ÷ 32768     		x = 0.565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14232 ÷ 215
    14232 ÷ 32768     		y = 0.434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565673828125 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434326171875 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.412640831929443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41264083} λ = 0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412640831929443))-π/2
    2×atan(1.51080229652845)-π/2
    2×0.98610100563969-π/2
    1.97220201127938-1.57079632675     		φ = 0.40140568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40140568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.998851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18536 KachelY 14232 0.41264083 0.40140568 23.642578 22.998851
    Oben rechts KachelX + 1 18537 KachelY 14232 0.41283258 0.40140568 23.653564 22.998851
    Unten links KachelX 18536 KachelY + 1 14233 0.41264083 0.40122917 23.642578 22.988738
    Unten rechts KachelX + 1 18537 KachelY + 1 14233 0.41283258 0.40122917 23.653564 22.988738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40140568-0.40122917) × R
    0.000176509999999963 × 6371000     		dl = 1124.54520999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40140568-0.40122917) × R
    0.000176509999999963 × 6371000     		dr = 1124.54520999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41264083-0.41283258) × cos(0.40140568) × R
    0.000191749999999991 × 0.92051268662898 × 6371000     		do = 1124.53442810886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41264083-0.41283258) × cos(0.40122917) × R
    0.000191749999999991 × 0.920581636983094 × 6371000     		du = 1124.61866056774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40140568)-sin(0.40122917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92051268662898-0.920581636983094)×R²
    abs(0.41283258-0.41264083)×6.89503541138059e-05×R²
    0.000191749999999991×6.89503541138059e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.89503541138059e-05×40589641000000     		ar = 1264637.16949704m²