Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18536 / 14055
↖ ↑ ↗
← N 24.776760°
E 23.642578°		 ← 1 109.18 m → N 24.776760°
E 23.653564°		 →
↑
1 109.19 m
↓
↑
1 109.19 m
↓
N 24.766785°
E 23.642578°		 ← 1 109.27 m →
1 230 347 m²		 N 24.766785°
E 23.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565689086914062 y=0.428939819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565689086914062 × 215)
    floor (0.565689086914062 × 32768)
    floor (18536.5)     		tx = 18536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428939819335938 × 215)
    floor (0.428939819335938 × 32768)
    floor (14055.5)     		ty = 14055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18536 / 14055 ti = "15/18536/14055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18536/14055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18536 ÷ 215
    18536 ÷ 32768     		x = 0.565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14055 ÷ 215
    14055 ÷ 32768     		y = 0.428924560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565673828125 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428924560546875 × 2 - 1) × π
    0.14215087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.446580156860443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41264083} λ = 0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446580156860443))-π/2
    2×atan(1.56295796433845)-π/2
    2×1.0016161827971-π/2
    2.00323236559419-1.57079632675     		φ = 0.43243604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43243604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.776760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18536 KachelY 14055 0.41264083 0.43243604 23.642578 24.776760
    Oben rechts KachelX + 1 18537 KachelY 14055 0.41283258 0.43243604 23.653564 24.776760
    Unten links KachelX 18536 KachelY + 1 14056 0.41264083 0.43226194 23.642578 24.766785
    Unten rechts KachelX + 1 18537 KachelY + 1 14056 0.41283258 0.43226194 23.653564 24.766785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43243604-0.43226194) × R
    0.00017410000000001 × 6371000     		dl = 1109.19110000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43243604-0.43226194) × R
    0.00017410000000001 × 6371000     		dr = 1109.19110000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41264083-0.41283258) × cos(0.43243604) × R
    0.000191749999999991 × 0.907947539697481 × 6371000     		do = 1109.18435143532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41264083-0.41283258) × cos(0.43226194) × R
    0.000191749999999991 × 0.908020488433387 × 6371000     		du = 1109.27346847434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43243604)-sin(0.43226194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907947539697481-0.908020488433387)×R²
    abs(0.41283258-0.41264083)×7.29487359060199e-05×R²
    0.000191749999999991×7.29487359060199e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.29487359060199e-05×40589641000000     		ar = 1230346.83789241m²