Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18535 / 22455
↖ ↑ ↗
← S 55.322894°
E 23.631592°		 ← 695.05 m → S 55.322894°
E 23.642578°		 →
↑
694.95 m
↓
↑
694.95 m
↓
S 55.329144°
E 23.631592°		 ← 694.94 m →
482 988 m²		 S 55.329144°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565658569335938 y=0.685287475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565658569335938 × 215)
    floor (0.565658569335938 × 32768)
    floor (18535.5)     		tx = 18535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685287475585938 × 215)
    floor (0.685287475585938 × 32768)
    floor (22455.5)     		ty = 22455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18535 / 22455 ti = "15/18535/22455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18535/22455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18535 ÷ 215
    18535 ÷ 32768     		x = 0.565643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22455 ÷ 215
    22455 ÷ 32768     		y = 0.685272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565643310546875 × 2 - 1) × π
    0.13128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41244908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.37054443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16409967037344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41244908} λ = 0.41244908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16409967037344))-π/2
    2×atan(0.312203621705649)-π/2
    2×0.302614835477958-π/2
    0.605229670955916-1.57079632675     		φ = -0.96556666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41244908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.631592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96556666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.322894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18535 KachelY 22455 0.41244908 -0.96556666 23.631592 -55.322894
    Oben rechts KachelX + 1 18536 KachelY 22455 0.41264083 -0.96556666 23.642578 -55.322894
    Unten links KachelX 18535 KachelY + 1 22456 0.41244908 -0.96567574 23.631592 -55.329144
    Unten rechts KachelX + 1 18536 KachelY + 1 22456 0.41264083 -0.96567574 23.642578 -55.329144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96556666--0.96567574) × R
    0.000109079999999984 × 6371000     		dl = 694.948679999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96556666--0.96567574) × R
    0.000109079999999984 × 6371000     		dr = 694.948679999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41244908-0.41264083) × cos(-0.96556666) × R
    0.000191749999999991 × 0.568950962677598 × 6371000     		do = 695.052827332205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41244908-0.41264083) × cos(-0.96567574) × R
    0.000191749999999991 × 0.568861255015174 × 6371000     		du = 694.943236930762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96556666)-sin(-0.96567574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568950962677598-0.568861255015174)×R²
    abs(0.41264083-0.41244908)×8.97076624237769e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97076624237769e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97076624237769e-05×40589641000000     		ar = 482987.965511239m²