Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18534 / 15272
↖ ↑ ↗
← N 12.125264°
E 23.620606°		 ← 1 194.32 m → N 12.125264°
E 23.631592°		 →
↑
1 194.37 m
↓
↑
1 194.37 m
↓
N 12.114523°
E 23.620606°		 ← 1 194.37 m →
1 426 494 m²		 N 12.114523°
E 23.631592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565628051757812 y=0.466079711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565628051757812 × 215)
    floor (0.565628051757812 × 32768)
    floor (18534.5)     		tx = 18534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466079711914062 × 215)
    floor (0.466079711914062 × 32768)
    floor (15272.5)     		ty = 15272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18534 / 15272 ti = "15/18534/15272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18534/15272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18534 ÷ 215
    18534 ÷ 32768     		x = 0.56561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15272 ÷ 215
    15272 ÷ 32768     		y = 0.466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56561279296875 × 2 - 1) × π
    0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466064453125 × 2 - 1) × π
    0.06787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.21322332951001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41225734} λ = 0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21322332951001))-π/2
    2×atan(1.2376610266117)-π/2
    2×0.891211055036541-π/2
    1.78242211007308-1.57079632675     		φ = 0.21162578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21162578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.125264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18534 KachelY 15272 0.41225734 0.21162578 23.620606 12.125264
    Oben rechts KachelX + 1 18535 KachelY 15272 0.41244908 0.21162578 23.631592 12.125264
    Unten links KachelX 18534 KachelY + 1 15273 0.41225734 0.21143831 23.620606 12.114523
    Unten rechts KachelX + 1 18535 KachelY + 1 15273 0.41244908 0.21143831 23.631592 12.114523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21162578-0.21143831) × R
    0.000187470000000023 × 6371000     		dl = 1194.37137000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21162578-0.21143831) × R
    0.000187470000000023 × 6371000     		dr = 1194.37137000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41225734-0.41244908) × cos(0.21162578) × R
    0.000191739999999996 × 0.977690712391366 × 6371000     		do = 1194.32305994244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41225734-0.41244908) × cos(0.21143831) × R
    0.000191739999999996 × 0.97773007322544 × 6371000     		du = 1194.37114217458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21162578)-sin(0.21143831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977690712391366-0.97773007322544)×R²
    abs(0.41244908-0.41225734)×3.93608340739648e-05×R²
    0.000191739999999996×3.93608340739648e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.93608340739648e-05×40589641000000     		ar = 1426493.98752474m²