Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18534 / 15196
↖ ↑ ↗
← N 12.940322°
E 23.620606°		 ← 1 190.55 m → N 12.940322°
E 23.631592°		 →
↑
1 190.61 m
↓
↑
1 190.61 m
↓
N 12.929615°
E 23.620606°		 ← 1 190.60 m →
1 417 517 m²		 N 12.929615°
E 23.631592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565628051757812 y=0.463760375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565628051757812 × 215)
    floor (0.565628051757812 × 32768)
    floor (18534.5)     		tx = 18534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463760375976562 × 215)
    floor (0.463760375976562 × 32768)
    floor (15196.5)     		ty = 15196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18534 / 15196 ti = "15/18534/15196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18534/15196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18534 ÷ 215
    18534 ÷ 32768     		x = 0.56561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15196 ÷ 215
    15196 ÷ 32768     		y = 0.4637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56561279296875 × 2 - 1) × π
    0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    0.072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227796146994507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41225734} λ = 0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227796146994507))-π/2
    2×atan(1.2558292947608)-π/2
    2×0.898323777098772-π/2
    1.79664755419754-1.57079632675     		φ = 0.22585123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22585123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.940322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18534 KachelY 15196 0.41225734 0.22585123 23.620606 12.940322
    Oben rechts KachelX + 1 18535 KachelY 15196 0.41244908 0.22585123 23.631592 12.940322
    Unten links KachelX 18534 KachelY + 1 15197 0.41225734 0.22566435 23.620606 12.929615
    Unten rechts KachelX + 1 18535 KachelY + 1 15197 0.41244908 0.22566435 23.631592 12.929615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22585123-0.22566435) × R
    0.000186879999999973 × 6371000     		dl = 1190.61247999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22585123-0.22566435) × R
    0.000186879999999973 × 6371000     		dr = 1190.61247999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41225734-0.41244908) × cos(0.22585123) × R
    0.000191739999999996 × 0.974603839099006 × 6371000     		do = 1190.55221103342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41225734-0.41244908) × cos(0.22566435) × R
    0.000191739999999996 × 0.974645671250159 × 6371000     		du = 1190.60331216605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22585123)-sin(0.22566435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974603839099006-0.974645671250159)×R²
    abs(0.41244908-0.41225734)×4.18321511523878e-05×R²
    0.000191739999999996×4.18321511523878e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.18321511523878e-05×40589641000000     		ar = 1417516.74549636m²