Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18533 / 15269
↖ ↑ ↗
← N 12.157486°
E 23.609619°		 ← 1 194.24 m → N 12.157486°
E 23.620606°		 →
↑
1 194.24 m
↓
↑
1 194.24 m
↓
N 12.146746°
E 23.609619°		 ← 1 194.29 m →
1 426 244 m²		 N 12.146746°
E 23.620606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565597534179688 y=0.465988159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565597534179688 × 215)
    floor (0.565597534179688 × 32768)
    floor (18533.5)     		tx = 18533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465988159179688 × 215)
    floor (0.465988159179688 × 32768)
    floor (15269.5)     		ty = 15269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18533 / 15269 ti = "15/18533/15269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18533/15269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18533 ÷ 215
    18533 ÷ 32768     		x = 0.565582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15269 ÷ 215
    15269 ÷ 32768     		y = 0.465972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565582275390625 × 2 - 1) × π
    0.13116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41206559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465972900390625 × 2 - 1) × π
    0.06805419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.21379857230545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41206559} λ = 0.41206559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21379857230545))-π/2
    2×atan(1.23837318701338)-π/2
    2×0.891492242802515-π/2
    1.78298448560503-1.57079632675     		φ = 0.21218816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41206559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.609619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21218816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.157486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18533 KachelY 15269 0.41206559 0.21218816 23.609619 12.157486
    Oben rechts KachelX + 1 18534 KachelY 15269 0.41225734 0.21218816 23.620606 12.157486
    Unten links KachelX 18533 KachelY + 1 15270 0.41206559 0.21200071 23.609619 12.146746
    Unten rechts KachelX + 1 18534 KachelY + 1 15270 0.41225734 0.21200071 23.620606 12.146746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21218816-0.21200071) × R
    0.000187449999999978 × 6371000     		dl = 1194.24394999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21218816-0.21200071) × R
    0.000187449999999978 × 6371000     		dr = 1194.24394999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41206559-0.41225734) × cos(0.21218816) × R
    0.000191750000000046 × 0.977572430047024 × 6371000     		do = 1194.24085026361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41206559-0.41225734) × cos(0.21200071) × R
    0.000191750000000046 × 0.977611889745943 × 6371000     		du = 1194.2890557806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21218816)-sin(0.21200071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977572430047024-0.977611889745943)×R²
    abs(0.41225734-0.41206559)×3.94596989189422e-05×R²
    0.000191750000000046×3.94596989189422e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.94596989189422e-05×40589641000000     		ar = 1426243.69901977m²