Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18532 / 51409
↖ ↑ ↗
← S 70.990138°
W 78.200684°		 ← 198.97 m → S 70.990138°
W 78.195190°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
S 70.991928°
W 78.200684°		 ← 198.96 m →
39 587 m²		 S 70.991928°
W 78.195190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282783508300781 y=0.784446716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282783508300781 × 216)
    floor (0.282783508300781 × 65536)
    floor (18532.5)     		tx = 18532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784446716308594 × 216)
    floor (0.784446716308594 × 65536)
    floor (51409.5)     		ty = 51409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18532 / 51409 ti = "16/18532/51409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18532/51409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18532 ÷ 216
    18532 ÷ 65536     		x = 0.28277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51409 ÷ 216
    51409 ÷ 65536     		y = 0.784439086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.4344482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36485941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784439086914062 × 2 - 1) × π
    -0.568878173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78718349163493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36485941} λ = -1.36485941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78718349163493))-π/2
    2×atan(0.167431077227785)-π/2
    2×0.165892335910976-π/2
    0.331784671821952-1.57079632675     		φ = -1.23901165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36485941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.200684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23901165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.990138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18532 KachelY 51409 -1.36485941 -1.23901165 -78.200684 -70.990138
    Oben rechts KachelX + 1 18533 KachelY 51409 -1.36476353 -1.23901165 -78.195190 -70.990138
    Unten links KachelX 18532 KachelY + 1 51410 -1.36485941 -1.23904288 -78.200684 -70.991928
    Unten rechts KachelX + 1 18533 KachelY + 1 51410 -1.36476353 -1.23904288 -78.195190 -70.991928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23901165--1.23904288) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23901165--1.23904288) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36485941--1.36476353) × cos(-1.23901165) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325730891266153 × 6371000     		do = 198.973197011518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36485941--1.36476353) × cos(-1.23904288) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325701364312653 × 6371000     		du = 198.955160428273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23901165)-sin(-1.23904288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325730891266153-0.325701364312653)×R²
    abs(-1.36476353--1.36485941)×2.95269535006137e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.95269535006137e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.95269535006137e-05×40589641000000     		ar = 39587.172444586m²