Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18532 / 15262
↖ ↑ ↗
← N 12.232655°
E 23.598633°		 ← 1 193.90 m → N 12.232655°
E 23.609619°		 →
↑
1 193.86 m
↓
↑
1 193.86 m
↓
N 12.221918°
E 23.598633°		 ← 1 193.95 m →
1 425 383 m²		 N 12.221918°
E 23.609619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565567016601562 y=0.465774536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565567016601562 × 215)
    floor (0.565567016601562 × 32768)
    floor (18532.5)     		tx = 18532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465774536132812 × 215)
    floor (0.465774536132812 × 32768)
    floor (15262.5)     		ty = 15262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18532 / 15262 ti = "15/18532/15262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18532/15262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18532 ÷ 215
    18532 ÷ 32768     		x = 0.5655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15262 ÷ 215
    15262 ÷ 32768     		y = 0.46575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5655517578125 × 2 - 1) × π
    0.131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41187384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46575927734375 × 2 - 1) × π
    0.0684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.215140805494812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41187384} λ = 0.41187384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215140805494812))-π/2
    2×atan(1.24003648862541)-π/2
    2×0.892148214977391-π/2
    1.78429642995478-1.57079632675     		φ = 0.21350010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41187384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.598633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21350010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.232655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18532 KachelY 15262 0.41187384 0.21350010 23.598633 12.232655
    Oben rechts KachelX + 1 18533 KachelY 15262 0.41206559 0.21350010 23.609619 12.232655
    Unten links KachelX 18532 KachelY + 1 15263 0.41187384 0.21331271 23.598633 12.221918
    Unten rechts KachelX + 1 18533 KachelY + 1 15263 0.41206559 0.21331271 23.609619 12.221918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21350010-0.21331271) × R
    0.000187390000000009 × 6371000     		dl = 1193.86169000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21350010-0.21331271) × R
    0.000187390000000009 × 6371000     		dr = 1193.86169000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41187384-0.41206559) × cos(0.21350010) × R
    0.000191749999999991 × 0.977295294942891 × 6371000     		do = 1193.9022911425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41187384-0.41206559) × cos(0.21331271) × R
    0.000191749999999991 × 0.97733498231841 × 6371000     		du = 1193.95077479817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21350010)-sin(0.21331271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977295294942891-0.97733498231841)×R²
    abs(0.41206559-0.41187384)×3.96873755190708e-05×R²
    0.000191749999999991×3.96873755190708e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.96873755190708e-05×40589641000000     		ar = 1425383.1525588m²