Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18532 / 15256
↖ ↑ ↗
← N 12.297068°
E 23.598633°		 ← 1 193.61 m → N 12.297068°
E 23.609619°		 →
↑
1 193.61 m
↓
↑
1 193.61 m
↓
N 12.286334°
E 23.598633°		 ← 1 193.66 m →
1 424 731 m²		 N 12.286334°
E 23.609619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565567016601562 y=0.465591430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565567016601562 × 215)
    floor (0.565567016601562 × 32768)
    floor (18532.5)     		tx = 18532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465591430664062 × 215)
    floor (0.465591430664062 × 32768)
    floor (15256.5)     		ty = 15256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18532 / 15256 ti = "15/18532/15256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18532/15256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18532 ÷ 215
    18532 ÷ 32768     		x = 0.5655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15256 ÷ 215
    15256 ÷ 32768     		y = 0.465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5655517578125 × 2 - 1) × π
    0.131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41187384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    0.06884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.216291291085693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41187384} λ = 0.41187384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216291291085693))-π/2
    2×atan(1.2414639537193)-π/2
    2×0.892710328420877-π/2
    1.78542065684175-1.57079632675     		φ = 0.21462433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41187384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.598633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21462433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.297068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18532 KachelY 15256 0.41187384 0.21462433 23.598633 12.297068
    Oben rechts KachelX + 1 18533 KachelY 15256 0.41206559 0.21462433 23.609619 12.297068
    Unten links KachelX 18532 KachelY + 1 15257 0.41187384 0.21443698 23.598633 12.286334
    Unten rechts KachelX + 1 18533 KachelY + 1 15257 0.41206559 0.21443698 23.609619 12.286334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21462433-0.21443698) × R
    0.000187350000000003 × 6371000     		dl = 1193.60685000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21462433-0.21443698) × R
    0.000187350000000003 × 6371000     		dr = 1193.60685000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41187384-0.41206559) × cos(0.21462433) × R
    0.000191749999999991 × 0.97705647349403 × 6371000     		do = 1193.61053748683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41187384-0.41206559) × cos(0.21443698) × R
    0.000191749999999991 × 0.977096358222986 × 6371000     		du = 1193.6592622372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21462433)-sin(0.21443698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97705647349403-0.977096358222986)×R²
    abs(0.41206559-0.41187384)×3.98847289555526e-05×R²
    0.000191749999999991×3.98847289555526e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.98847289555526e-05×40589641000000     		ar = 1424730.79704179m²