Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18531 / 22691
↖ ↑ ↗
← N 75.384617°
W129.103089°		 ← 77.07 m → N 75.384617°
W129.100342°		 →
↑
77.09 m
↓
↑
77.09 m
↓
N 75.383924°
W129.103089°		 ← 77.07 m →
5 941 m²		 N 75.383924°
W129.100342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141384124755859 y=0.173122406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141384124755859 × 217)
    floor (0.141384124755859 × 131072)
    floor (18531.5)     		tx = 18531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173122406005859 × 217)
    floor (0.173122406005859 × 131072)
    floor (22691.5)     		ty = 22691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18531 / 22691 ti = "17/18531/22691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18531/22691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18531 ÷ 217
    18531 ÷ 131072     		x = 0.141380310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22691 ÷ 217
    22691 ÷ 131072     		y = 0.173118591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141380310058594 × 2 - 1) × π
    -0.717239379882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.25327397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173118591308594 × 2 - 1) × π
    0.653762817382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.05385646422131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25327397} λ = -2.25327397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05385646422131))-π/2
    2×atan(7.7979155766647)-π/2
    2×1.44325305299914-π/2
    2.88650610599828-1.57079632675     		φ = 1.31570978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25327397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.103089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31570978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.384617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18531 KachelY 22691 -2.25327397 1.31570978 -129.103089 75.384617
    Oben rechts KachelX + 1 18532 KachelY 22691 -2.25322603 1.31570978 -129.100342 75.384617
    Unten links KachelX 18531 KachelY + 1 22692 -2.25327397 1.31569768 -129.103089 75.383924
    Unten rechts KachelX + 1 18532 KachelY + 1 22692 -2.25322603 1.31569768 -129.100342 75.383924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31570978-1.31569768) × R
    1.20999999999594e-05 × 6371000     		dl = 77.0890999997411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31570978-1.31569768) × R
    1.20999999999594e-05 × 6371000     		dr = 77.0890999997411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25327397--2.25322603) × cos(1.31570978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252329155846352 × 6371000     		do = 77.0678191478967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25327397--2.25322603) × cos(1.31569768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252340864289558 × 6371000     		du = 77.0713952078273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31570978)-sin(1.31569768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252329155846352-0.252340864289558)×R²
    abs(-2.25322603--2.25327397)×1.17084432064152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17084432064152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17084432064152e-05×40589641000000     		ar = 5941.22665469219m²