Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18530 / 22690
↖ ↑ ↗
← N 75.385310°
W129.105835°		 ← 77.05 m → N 75.385310°
W129.103089°		 →
↑
77.03 m
↓
↑
77.03 m
↓
N 75.384617°
W129.105835°		 ← 77.05 m →
5 935 m²		 N 75.384617°
W129.103089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141376495361328 y=0.173114776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141376495361328 × 217)
    floor (0.141376495361328 × 131072)
    floor (18530.5)     		tx = 18530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173114776611328 × 217)
    floor (0.173114776611328 × 131072)
    floor (22690.5)     		ty = 22690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18530 / 22690 ti = "17/18530/22690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18530/22690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18530 ÷ 217
    18530 ÷ 131072     		x = 0.141372680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22690 ÷ 217
    22690 ÷ 131072     		y = 0.173110961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141372680664062 × 2 - 1) × π
    -0.717254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25332190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173110961914062 × 2 - 1) × π
    0.653778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05390440112093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25332190} λ = -2.25332190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05390440112093))-π/2
    2×atan(7.79828939352068)-π/2
    2×1.4432591007976-π/2
    2.88651820159519-1.57079632675     		φ = 1.31572187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25332190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.105835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31572187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.385310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18530 KachelY 22690 -2.25332190 1.31572187 -129.105835 75.385310
    Oben rechts KachelX + 1 18531 KachelY 22690 -2.25327397 1.31572187 -129.103089 75.385310
    Unten links KachelX 18530 KachelY + 1 22691 -2.25332190 1.31570978 -129.105835 75.384617
    Unten rechts KachelX + 1 18531 KachelY + 1 22691 -2.25327397 1.31570978 -129.103089 75.384617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31572187-1.31570978) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dl = 77.0253900001283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31572187-1.31570978) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dr = 77.0253900001283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25332190--2.25327397) × cos(1.31572187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.252317457042647 × 6371000     		do = 77.0481708870276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25332190--2.25327397) × cos(1.31570978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.252329155846352 × 6371000     		du = 77.0517432574755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31572187)-sin(1.31570978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252317457042647-0.252329155846352)×R²
    abs(-2.25327397--2.25332190)×1.16988037048849e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16988037048849e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16988037048849e-05×40589641000000     		ar = 5934.80299298929m²