Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18530 / 19561
↖ ↑ ↗
← S 32.925707°
E 23.576660°		 ← 1 025.36 m → S 32.925707°
E 23.587646°		 →
↑
1 025.35 m
↓
↑
1 025.35 m
↓
S 32.934928°
E 23.576660°		 ← 1 025.25 m →
1 051 298 m²		 S 32.934928°
E 23.587646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565505981445312 y=0.596969604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565505981445312 × 215)
    floor (0.565505981445312 × 32768)
    floor (18530.5)     		tx = 18530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596969604492188 × 215)
    floor (0.596969604492188 × 32768)
    floor (19561.5)     		ty = 19561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18530 / 19561 ti = "15/18530/19561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18530/19561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18530 ÷ 215
    18530 ÷ 32768     		x = 0.56549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19561 ÷ 215
    19561 ÷ 32768     		y = 0.596954345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56549072265625 × 2 - 1) × π
    0.1309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41149035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.19390869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.609182120371674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41149035} λ = 0.41149035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609182120371674))-π/2
    2×atan(0.543795446461961)-π/2
    2×0.498067161291044-π/2
    0.996134322582089-1.57079632675     		φ = -0.57466200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41149035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.576660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57466200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.925707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18530 KachelY 19561 0.41149035 -0.57466200 23.576660 -32.925707
    Oben rechts KachelX + 1 18531 KachelY 19561 0.41168209 -0.57466200 23.587646 -32.925707
    Unten links KachelX 18530 KachelY + 1 19562 0.41149035 -0.57482294 23.576660 -32.934928
    Unten rechts KachelX + 1 18531 KachelY + 1 19562 0.41168209 -0.57482294 23.587646 -32.934928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57466200--0.57482294) × R
    0.000160939999999998 × 6371000     		dl = 1025.34873999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57466200--0.57482294) × R
    0.000160939999999998 × 6371000     		dr = 1025.34873999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41149035-0.41168209) × cos(-0.57466200) × R
    0.000191739999999996 × 0.839376070640063 × 6371000     		do = 1025.36127675519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41149035-0.41168209) × cos(-0.57482294) × R
    0.000191739999999996 × 0.839288580653748 × 6371000     		du = 1025.25440112791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57466200)-sin(-0.57482294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839376070640063-0.839288580653748)×R²
    abs(0.41168209-0.41149035)×8.74899863151368e-05×R²
    0.000191739999999996×8.74899863151368e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.74899863151368e-05×40589641000000     		ar = 1051298.10304013m²