Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1853 / 1849
↖ ↑ ↗
← N 69.763757°
W 98.569336°		 ← 1 690.20 m → N 69.763757°
W 98.525390°		 →
↑
1 690.80 m
↓
↑
1 690.80 m
↓
N 69.748551°
W 98.569336°		 ← 1 691.41 m →
2 858 815 m²		 N 69.748551°
W 98.525390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22625732421875 y=0.22576904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22625732421875 × 213)
    floor (0.22625732421875 × 8192)
    floor (1853.5)     		tx = 1853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22576904296875 × 213)
    floor (0.22576904296875 × 8192)
    floor (1849.5)     		ty = 1849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1853 / 1849 ti = "13/1853/1849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1853/1849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1853 ÷ 213
    1853 ÷ 8192     		x = 0.2261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1849 ÷ 213
    1849 ÷ 8192     		y = 0.2257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72035945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2257080078125 × 2 - 1) × π
    0.548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72342741514026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72035945} λ = -1.72035945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72342741514026))-π/2
    2×atan(5.60370180040762)-π/2
    2×1.39420179181589-π/2
    2.78840358363179-1.57079632675     		φ = 1.21760726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72035945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21760726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.763757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1853 KachelY 1849 -1.72035945 1.21760726 -98.569336 69.763757
    Oben rechts KachelX + 1 1854 KachelY 1849 -1.71959246 1.21760726 -98.525390 69.763757
    Unten links KachelX 1853 KachelY + 1 1850 -1.72035945 1.21734187 -98.569336 69.748551
    Unten rechts KachelX + 1 1854 KachelY + 1 1850 -1.71959246 1.21734187 -98.525390 69.748551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21760726-1.21734187) × R
    0.000265390000000032 × 6371000     		dl = 1690.7996900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21760726-1.21734187) × R
    0.000265390000000032 × 6371000     		dr = 1690.7996900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72035945--1.71959246) × cos(1.21760726) × R
    0.000766989999999801 × 0.345891781045125 × 6371000     		do = 1690.19786714271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72035945--1.71959246) × cos(1.21734187) × R
    0.000766989999999801 × 0.346140777508011 × 6371000     		du = 1691.41458668784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21760726)-sin(1.21734187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345891781045125-0.346140777508011)×R²
    abs(-1.71959246--1.72035945)×0.000248996462886286×R²
    0.000766989999999801×0.000248996462886286×6371000²
    0.000766989999999801×0.000248996462886286×40589641000000     		ar = 2858814.66109591m²