Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18529 / 22689
↖ ↑ ↗
← N 75.386003°
W129.108582°		 ← 77.06 m → N 75.386003°
W129.105835°		 →
↑
77.09 m
↓
↑
77.09 m
↓
N 75.385310°
W129.108582°		 ← 77.06 m →
5 941 m²		 N 75.385310°
W129.105835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141368865966797 y=0.173107147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141368865966797 × 217)
    floor (0.141368865966797 × 131072)
    floor (18529.5)     		tx = 18529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173107147216797 × 217)
    floor (0.173107147216797 × 131072)
    floor (22689.5)     		ty = 22689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18529 / 22689 ti = "17/18529/22689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18529/22689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18529 ÷ 217
    18529 ÷ 131072     		x = 0.141365051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22689 ÷ 217
    22689 ÷ 131072     		y = 0.173103332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141365051269531 × 2 - 1) × π
    -0.717269897460938 × 3.1415926535     		Λ = -2.25336984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173103332519531 × 2 - 1) × π
    0.653793334960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.05395233802055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25336984} λ = -2.25336984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05395233802055))-π/2
    2×atan(7.79866322829672)-π/2
    2×1.44326514831553-π/2
    2.88653029663106-1.57079632675     		φ = 1.31573397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25336984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.108582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31573397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.386003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18529 KachelY 22689 -2.25336984 1.31573397 -129.108582 75.386003
    Oben rechts KachelX + 1 18530 KachelY 22689 -2.25332190 1.31573397 -129.105835 75.386003
    Unten links KachelX 18529 KachelY + 1 22690 -2.25336984 1.31572187 -129.108582 75.385310
    Unten rechts KachelX + 1 18530 KachelY + 1 22690 -2.25332190 1.31572187 -129.105835 75.385310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31573397-1.31572187) × R
    1.20999999999594e-05 × 6371000     		dl = 77.0890999997411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31573397-1.31572187) × R
    1.20999999999594e-05 × 6371000     		dr = 77.0890999997411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25336984--2.25332190) × cos(1.31573397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252305748525586 × 6371000     		do = 77.0606699496304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25336984--2.25332190) × cos(1.31572187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252317457042647 × 6371000     		du = 77.064246032118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31573397)-sin(1.31572187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252305748525586-0.252317457042647)×R²
    abs(-2.25332190--2.25336984)×1.17085170611708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17085170611708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17085170611708e-05×40589641000000     		ar = 5940.67553035375m²