Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18529 / 15273
↖ ↑ ↗
← N 12.114523°
E 23.565674°		 ← 1 194.43 m → N 12.114523°
E 23.576660°		 →
↑
1 194.44 m
↓
↑
1 194.44 m
↓
N 12.103781°
E 23.565674°		 ← 1 194.48 m →
1 426 702 m²		 N 12.103781°
E 23.576660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565475463867188 y=0.466110229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565475463867188 × 215)
    floor (0.565475463867188 × 32768)
    floor (18529.5)     		tx = 18529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466110229492188 × 215)
    floor (0.466110229492188 × 32768)
    floor (15273.5)     		ty = 15273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18529 / 15273 ti = "15/18529/15273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18529/15273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18529 ÷ 215
    18529 ÷ 32768     		x = 0.565460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15273 ÷ 215
    15273 ÷ 32768     		y = 0.466094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565460205078125 × 2 - 1) × π
    0.13092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41129860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466094970703125 × 2 - 1) × π
    0.06781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.21303158191153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41129860} λ = 0.41129860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21303158191153))-π/2
    2×atan(1.23742373083329)-π/2
    2×0.891117318226393-π/2
    1.78223463645279-1.57079632675     		φ = 0.21143831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41129860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.565674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21143831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.114523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18529 KachelY 15273 0.41129860 0.21143831 23.565674 12.114523
    Oben rechts KachelX + 1 18530 KachelY 15273 0.41149035 0.21143831 23.576660 12.114523
    Unten links KachelX 18529 KachelY + 1 15274 0.41129860 0.21125083 23.565674 12.103781
    Unten rechts KachelX + 1 18530 KachelY + 1 15274 0.41149035 0.21125083 23.576660 12.103781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21143831-0.21125083) × R
    0.00018747999999999 × 6371000     		dl = 1194.43507999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21143831-0.21125083) × R
    0.00018747999999999 × 6371000     		dr = 1194.43507999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41129860-0.41149035) × cos(0.21143831) × R
    0.000191749999999991 × 0.97773007322544 × 6371000     		do = 1194.43343335751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41129860-0.41149035) × cos(0.21125083) × R
    0.000191749999999991 × 0.977769401794021 × 6371000     		du = 1194.48147868054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21143831)-sin(0.21125083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97773007322544-0.977769401794021)×R²
    abs(0.41149035-0.41129860)×3.93285685805767e-05×R²
    0.000191749999999991×3.93285685805767e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.93285685805767e-05×40589641000000     		ar = 1426701.89121564m²