Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18528 / 51475
↖ ↑ ↗
← S 71.107879°
W 78.222656°		 ← 197.77 m → S 71.107879°
W 78.217163°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
S 71.109658°
W 78.222656°		 ← 197.75 m →
39 107 m²		 S 71.109658°
W 78.217163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282722473144531 y=0.785453796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282722473144531 × 216)
    floor (0.282722473144531 × 65536)
    floor (18528.5)     		tx = 18528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785453796386719 × 216)
    floor (0.785453796386719 × 65536)
    floor (51475.5)     		ty = 51475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18528 / 51475 ti = "16/18528/51475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18528/51475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18528 ÷ 216
    18528 ÷ 65536     		x = 0.28271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51475 ÷ 216
    51475 ÷ 65536     		y = 0.785446166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36524290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785446166992188 × 2 - 1) × π
    -0.570892333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79351116238478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36524290} λ = -1.36524290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79351116238478))-π/2
    2×atan(0.166374973360383)-π/2
    2×0.164864854293544-π/2
    0.329729708587088-1.57079632675     		φ = -1.24106662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36524290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24106662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.107879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18528 KachelY 51475 -1.36524290 -1.24106662 -78.222656 -71.107879
    Oben rechts KachelX + 1 18529 KachelY 51475 -1.36514703 -1.24106662 -78.217163 -71.107879
    Unten links KachelX 18528 KachelY + 1 51476 -1.36524290 -1.24109766 -78.222656 -71.109658
    Unten rechts KachelX + 1 18529 KachelY + 1 51476 -1.36514703 -1.24109766 -78.217163 -71.109658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24106662--1.24109766) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dl = 197.755840000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24106662--1.24109766) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dr = 197.755840000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36524290--1.36514703) × cos(-1.24106662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323787307743751 × 6371000     		do = 197.765327651105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36524290--1.36514703) × cos(-1.24109766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323757939715815 × 6371000     		du = 197.747390018812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24106662)-sin(-1.24109766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323787307743751-0.323757939715815)×R²
    abs(-1.36514703--1.36524290)×2.9368027936294e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9368027936294e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9368027936294e-05×40589641000000     		ar = 39107.4748599871m²