Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18528 / 51411
↖ ↑ ↗
← S 70.993717°
W 78.222656°		 ← 198.92 m → S 70.993717°
W 78.217163°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
S 70.995506°
W 78.222656°		 ← 198.90 m →
39 563 m²		 S 70.995506°
W 78.217163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282722473144531 y=0.784477233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282722473144531 × 216)
    floor (0.282722473144531 × 65536)
    floor (18528.5)     		tx = 18528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784477233886719 × 216)
    floor (0.784477233886719 × 65536)
    floor (51411.5)     		ty = 51411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18528 / 51411 ti = "16/18528/51411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18528/51411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18528 ÷ 216
    18528 ÷ 65536     		x = 0.28271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51411 ÷ 216
    51411 ÷ 65536     		y = 0.784469604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36524290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784469604492188 × 2 - 1) × π
    -0.568939208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78737523923341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36524290} λ = -1.36524290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78737523923341))-π/2
    2×atan(0.1673989757986)-π/2
    2×0.165861109683961-π/2
    0.331722219367922-1.57079632675     		φ = -1.23907411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36524290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23907411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.993717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18528 KachelY 51411 -1.36524290 -1.23907411 -78.222656 -70.993717
    Oben rechts KachelX + 1 18529 KachelY 51411 -1.36514703 -1.23907411 -78.217163 -70.993717
    Unten links KachelX 18528 KachelY + 1 51412 -1.36524290 -1.23910533 -78.222656 -70.995506
    Unten rechts KachelX + 1 18529 KachelY + 1 51412 -1.36514703 -1.23910533 -78.217163 -70.995506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23907411--1.23910533) × R
    3.12199999998874e-05 × 6371000     		dl = 198.902619999283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23907411--1.23910533) × R
    3.12199999998874e-05 × 6371000     		dr = 198.902619999283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36524290--1.36514703) × cos(-1.23907411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325671837041491 × 6371000     		do = 198.916375098371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36524290--1.36514703) × cos(-1.23910533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325642318907628 × 6371000     		du = 198.898345783215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23907411)-sin(-1.23910533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325671837041491-0.325642318907628)×R²
    abs(-1.36514703--1.36524290)×2.95181338628159e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95181338628159e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95181338628159e-05×40589641000000     		ar = 39563.1951320477m²