Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18528 / 22688
↖ ↑ ↗
← N 75.386696°
W129.111328°		 ← 77.06 m → N 75.386696°
W129.108582°		 →
↑
77.03 m
↓
↑
77.03 m
↓
N 75.386003°
W129.111328°		 ← 77.06 m →
5 935 m²		 N 75.386003°
W129.108582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141361236572266 y=0.173099517822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141361236572266 × 217)
    floor (0.141361236572266 × 131072)
    floor (18528.5)     		tx = 18528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173099517822266 × 217)
    floor (0.173099517822266 × 131072)
    floor (22688.5)     		ty = 22688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18528 / 22688 ti = "17/18528/22688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18528/22688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18528 ÷ 217
    18528 ÷ 131072     		x = 0.141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22688 ÷ 217
    22688 ÷ 131072     		y = 0.173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.71728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25341778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173095703125 × 2 - 1) × π
    0.65380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05400027492017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25341778} λ = -2.25341778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05400027492017))-π/2
    2×atan(7.79903708099366)-π/2
    2×1.44327119555295-π/2
    2.8865423911059-1.57079632675     		φ = 1.31574606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25341778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31574606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.386696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18528 KachelY 22688 -2.25341778 1.31574606 -129.111328 75.386696
    Oben rechts KachelX + 1 18529 KachelY 22688 -2.25336984 1.31574606 -129.108582 75.386696
    Unten links KachelX 18528 KachelY + 1 22689 -2.25341778 1.31573397 -129.111328 75.386003
    Unten rechts KachelX + 1 18529 KachelY + 1 22689 -2.25336984 1.31573397 -129.108582 75.386003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31574606-1.31573397) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dl = 77.0253900001283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31574606-1.31573397) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dr = 77.0253900001283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25341778--2.25336984) × cos(1.31574606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25229404964809 × 6371000     		do = 77.0570968113142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25341778--2.25336984) × cos(1.31573397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252305748525586 × 6371000     		du = 77.0606699496304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31574606)-sin(1.31573397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25229404964809-0.252305748525586)×R²
    abs(-2.25336984--2.25341778)×1.16988774951921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16988774951921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16988774951921e-05×40589641000000     		ar = 5935.49054556431m²