Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18528 / 19550
↖ ↑ ↗
← S 32.824211°
E 23.554687°		 ← 1 026.59 m → S 32.824211°
E 23.565674°		 →
↑
1 026.50 m
↓
↑
1 026.50 m
↓
S 32.833443°
E 23.554687°		 ← 1 026.48 m →
1 053 735 m²		 S 32.833443°
E 23.565674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565444946289062 y=0.596633911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565444946289062 × 215)
    floor (0.565444946289062 × 32768)
    floor (18528.5)     		tx = 18528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596633911132812 × 215)
    floor (0.596633911132812 × 32768)
    floor (19550.5)     		ty = 19550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18528 / 19550 ti = "15/18528/19550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18528/19550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18528 ÷ 215
    18528 ÷ 32768     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19550 ÷ 215
    19550 ÷ 32768     		y = 0.59661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.607072896788391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607072896788391))-π/2
    2×atan(0.544943643118176)-π/2
    2×0.498952884358325-π/2
    0.99790576871665-1.57079632675     		φ = -0.57289056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57289056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.824211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18528 KachelY 19550 0.41110685 -0.57289056 23.554687 -32.824211
    Oben rechts KachelX + 1 18529 KachelY 19550 0.41129860 -0.57289056 23.565674 -32.824211
    Unten links KachelX 18528 KachelY + 1 19551 0.41110685 -0.57305168 23.554687 -32.833443
    Unten rechts KachelX + 1 18529 KachelY + 1 19551 0.41129860 -0.57305168 23.565674 -32.833443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57289056--0.57305168) × R
    0.000161119999999904 × 6371000     		dl = 1026.49551999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57289056--0.57305168) × R
    0.000161119999999904 × 6371000     		dr = 1026.49551999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41129860) × cos(-0.57289056) × R
    0.000191749999999991 × 0.84033762133886 × 6371000     		do = 1026.58942147914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41129860) × cos(-0.57305168) × R
    0.000191749999999991 × 0.840250273183845 × 6371000     		du = 1026.48271354456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57289056)-sin(-0.57305168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84033762133886-0.840250273183845)×R²
    abs(0.41129860-0.41110685)×8.73481550142108e-05×R²
    0.000191749999999991×8.73481550142108e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.73481550142108e-05×40589641000000     		ar = 1053734.67669869m²