Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18528 / 15274
↖ ↑ ↗
← N 12.103781°
E 23.554687°		 ← 1 194.48 m → N 12.103781°
E 23.565674°		 →
↑
1 194.50 m
↓
↑
1 194.50 m
↓
N 12.093039°
E 23.554687°		 ← 1 194.53 m →
1 426 835 m²		 N 12.093039°
E 23.565674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565444946289062 y=0.466140747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565444946289062 × 215)
    floor (0.565444946289062 × 32768)
    floor (18528.5)     		tx = 18528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466140747070312 × 215)
    floor (0.466140747070312 × 32768)
    floor (15274.5)     		ty = 15274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18528 / 15274 ti = "15/18528/15274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18528/15274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18528 ÷ 215
    18528 ÷ 32768     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15274 ÷ 215
    15274 ÷ 32768     		y = 0.46612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46612548828125 × 2 - 1) × π
    0.0677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.212839834313049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.212839834313049))-π/2
    2×atan(1.23718648055141)-π/2
    2×0.891023577644071-π/2
    1.78204715528814-1.57079632675     		φ = 0.21125083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21125083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.103781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18528 KachelY 15274 0.41110685 0.21125083 23.554687 12.103781
    Oben rechts KachelX + 1 18529 KachelY 15274 0.41129860 0.21125083 23.565674 12.103781
    Unten links KachelX 18528 KachelY + 1 15275 0.41110685 0.21106334 23.554687 12.093039
    Unten rechts KachelX + 1 18529 KachelY + 1 15275 0.41129860 0.21106334 23.565674 12.093039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21125083-0.21106334) × R
    0.000187490000000012 × 6371000     		dl = 1194.49879000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21125083-0.21106334) × R
    0.000187490000000012 × 6371000     		dr = 1194.49879000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41129860) × cos(0.21125083) × R
    0.000191749999999991 × 0.977769401794021 × 6371000     		do = 1194.48147868054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41129860) × cos(0.21106334) × R
    0.000191749999999991 × 0.977808698090226 × 6371000     		du = 1194.52948457836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21125083)-sin(0.21106334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977769401794021-0.977808698090226)×R²
    abs(0.41129860-0.41110685)×3.92962962056931e-05×R²
    0.000191749999999991×3.92962962056931e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.92962962056931e-05×40589641000000     		ar = 1426835.3566345m²