Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18527 / 22625
↖ ↑ ↗
← S 56.371335°
E 23.543701°		 ← 676.55 m → S 56.371335°
E 23.554687°		 →
↑
676.47 m
↓
↑
676.47 m
↓
S 56.377419°
E 23.543701°		 ← 676.45 m →
457 634 m²		 S 56.377419°
E 23.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565414428710938 y=0.690475463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565414428710938 × 215)
    floor (0.565414428710938 × 32768)
    floor (18527.5)     		tx = 18527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690475463867188 × 215)
    floor (0.690475463867188 × 32768)
    floor (22625.5)     		ty = 22625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18527 / 22625 ti = "15/18527/22625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18527/22625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18527 ÷ 215
    18527 ÷ 32768     		x = 0.565399169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22625 ÷ 215
    22625 ÷ 32768     		y = 0.690460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565399169921875 × 2 - 1) × π
    0.13079833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41091510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.38092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19669676211508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41091510} λ = 0.41091510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19669676211508))-π/2
    2×atan(0.302190773076851)-π/2
    2×0.293465464173824-π/2
    0.586930928347647-1.57079632675     		φ = -0.98386540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41091510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.543701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98386540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.371335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18527 KachelY 22625 0.41091510 -0.98386540 23.543701 -56.371335
    Oben rechts KachelX + 1 18528 KachelY 22625 0.41110685 -0.98386540 23.554687 -56.371335
    Unten links KachelX 18527 KachelY + 1 22626 0.41091510 -0.98397158 23.543701 -56.377419
    Unten rechts KachelX + 1 18528 KachelY + 1 22626 0.41110685 -0.98397158 23.554687 -56.377419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98386540--0.98397158) × R
    0.000106179999999956 × 6371000     		dl = 676.472779999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98386540--0.98397158) × R
    0.000106179999999956 × 6371000     		dr = 676.472779999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41091510-0.41110685) × cos(-0.98386540) × R
    0.000191750000000046 × 0.553808188904339 × 6371000     		do = 676.553820537117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41091510-0.41110685) × cos(-0.98397158) × R
    0.000191750000000046 × 0.553719775613438 × 6371000     		du = 676.445811390731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98386540)-sin(-0.98397158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553808188904339-0.553719775613438)×R²
    abs(0.41110685-0.41091510)×8.84132909005908e-05×R²
    0.000191750000000046×8.84132909005908e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.84132909005908e-05×40589641000000     		ar = 457633.711604587m²