Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18527 / 19549
↖ ↑ ↗
← S 32.814979°
E 23.543701°		 ← 1 026.70 m → S 32.814979°
E 23.554687°		 →
↑
1 026.62 m
↓
↑
1 026.62 m
↓
S 32.824211°
E 23.543701°		 ← 1 026.59 m →
1 053 975 m²		 S 32.824211°
E 23.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565414428710938 y=0.596603393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565414428710938 × 215)
    floor (0.565414428710938 × 32768)
    floor (18527.5)     		tx = 18527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596603393554688 × 215)
    floor (0.596603393554688 × 32768)
    floor (19549.5)     		ty = 19549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18527 / 19549 ti = "15/18527/19549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18527/19549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18527 ÷ 215
    18527 ÷ 32768     		x = 0.565399169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19549 ÷ 215
    19549 ÷ 32768     		y = 0.596588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565399169921875 × 2 - 1) × π
    0.13079833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41091510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.19317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.606881149189911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41091510} λ = 0.41091510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.606881149189911))-π/2
    2×atan(0.545048144771701)-π/2
    2×0.499033454905631-π/2
    0.998066909811261-1.57079632675     		φ = -0.57272942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41091510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.543701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57272942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.814979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18527 KachelY 19549 0.41091510 -0.57272942 23.543701 -32.814979
    Oben rechts KachelX + 1 18528 KachelY 19549 0.41110685 -0.57272942 23.554687 -32.814979
    Unten links KachelX 18527 KachelY + 1 19550 0.41091510 -0.57289056 23.543701 -32.824211
    Unten rechts KachelX + 1 18528 KachelY + 1 19550 0.41110685 -0.57289056 23.554687 -32.824211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57272942--0.57289056) × R
    0.000161140000000004 × 6371000     		dl = 1026.62294000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57272942--0.57289056) × R
    0.000161140000000004 × 6371000     		dr = 1026.62294000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41091510-0.41110685) × cos(-0.57272942) × R
    0.000191750000000046 × 0.840424958517559 × 6371000     		do = 1026.69611600492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41091510-0.41110685) × cos(-0.57289056) × R
    0.000191750000000046 × 0.84033762133886 × 6371000     		du = 1026.58942147944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57272942)-sin(-0.57289056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840424958517559-0.84033762133886)×R²
    abs(0.41110685-0.41091510)×8.73371786990207e-05×R²
    0.000191750000000046×8.73371786990207e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.73371786990207e-05×40589641000000     		ar = 1053975.01985648m²