Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18526 / 51474
↖ ↑ ↗
← S 71.106100°
W 78.233643°		 ← 197.80 m → S 71.106100°
W 78.228149°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
S 71.107879°
W 78.233643°		 ← 197.79 m →
39 128 m²		 S 71.107879°
W 78.228149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282691955566406 y=0.785438537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282691955566406 × 216)
    floor (0.282691955566406 × 65536)
    floor (18526.5)     		tx = 18526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785438537597656 × 216)
    floor (0.785438537597656 × 65536)
    floor (51474.5)     		ty = 51474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18526 / 51474 ti = "16/18526/51474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18526/51474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18526 ÷ 216
    18526 ÷ 65536     		x = 0.282684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51474 ÷ 216
    51474 ÷ 65536     		y = 0.785430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.43463134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36543465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.57086181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79341528858554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36543465} λ = -1.36543465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79341528858554))-π/2
    2×atan(0.166390925125844)-π/2
    2×0.164880376357278-π/2
    0.329760752714556-1.57079632675     		φ = -1.24103557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36543465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.233643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24103557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.106100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18526 KachelY 51474 -1.36543465 -1.24103557 -78.233643 -71.106100
    Oben rechts KachelX + 1 18527 KachelY 51474 -1.36533877 -1.24103557 -78.228149 -71.106100
    Unten links KachelX 18526 KachelY + 1 51475 -1.36543465 -1.24106662 -78.233643 -71.107879
    Unten rechts KachelX + 1 18527 KachelY + 1 51475 -1.36533877 -1.24106662 -78.228149 -71.107879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24103557--1.24106662) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dl = 197.819550000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24103557--1.24106662) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dr = 197.819550000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36543465--1.36533877) × cos(-1.24103557) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.323816684920922 × 6371000     		do = 197.803901232968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36543465--1.36533877) × cos(-1.24106662) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.323787307743751 × 6371000     		du = 197.785956140814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24103557)-sin(-1.24106662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323816684920922-0.323787307743751)×R²
    abs(-1.36533877--1.36543465)×2.93771771715523e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.93771771715523e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.93771771715523e-05×40589641000000     		ar = 39127.7037883639m²